字典树及其应用

浅析字典树

字典树是一种比较特殊的树，边上有边权（至少我是怎么理解的）。又名“Trie”树。

大概长这样：

（插入了cap,cat,csp,co,code）

边上是字符集，点上是点的编号，涂成蓝色的代表是单词的结尾。

字符集可以是a-z，0-9，true和false等等。

字典树有效的组织了单词的关系，节省了时间和空间。

插入单词

void insert(char *s) {
    int p = 1, len = strlen(s);
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        bool now = s[i] - 'a';
        if (trie[p][now] == 0) trie[p][now] = ++m;
        p = trie[p][now];
    }
    isend[p] = true;
}

这里trie[x][c]表示从节点x由c这条边能达到节点trie[x][c]。

其中，m为节点总数计数，要在插入前赋初始值为 $1$ 。

这里isend用于标记是否是结尾，有时还需要记录次数。

查询

每道题都有他查询的内容，需要因地制宜的写查询函数。

查询前缀是否出现：

bool query(char *s) { // 此代码没有编译运行测试过，仅供思路参考，不建议直接复制。
    int p = 1, len = strlen(s);
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        bool now = s[i] - 'a';
        if (trie[p][now] == 0) return false;
        p = trie[p][now];
    }
    return true;
}

查询出现次数（注意配套修改insert函数）：

int query(char *s) { // 此代码没有编译运行测试过，仅供思路参考，不建议直接复制。
    int p = 1, len = strlen(s);
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        bool now = s[i] - 'a';
        if (trie[p][now] == 0) return 0;
        p = trie[p][now];
    }
    return isend[p];
}

应用

本文主要谈应用字典树解题，如果上面的讲解不明白，可以自行Baidu一下qwq。

例题一 于是他错误的点名开始了

查看原题-洛谷P2580

这题是字典树最基本的运用，查询存在性和重复性。

把所有化学生的姓名插入字典树，再在每次教练点名时，查询。

例题二 The XOR Largest Pair

查看原题-LibreOJ#10050

这题看似和字典树没啥关系，也找不到可以插入的字符串。

最容易想到的做法就是暴力，两两枚举xor，时间复杂度 $O(n^2)$ 。

其实这里可以把每个数的二进制值插入字典树中，

枚举每个数，在字典树中查询与它尽量二进制按位尽量相反的树。

code：

void insert(int x) {
    int p = 1;
    for (int i = 30; i >= 0; --i) {
        bool now = (x & (1 << i));
        if (trie[p][now] == 0) trie[p][now] = ++m;
        p = trie[p][now];
    }
    isend[p] = true;
}

int lookup(int x) {
    int res = 0;
    int p = 1;
    for (int i = 30; i >= 0; --i) {
        bool now = (x & (1 << i));
        now = !now;
        if (trie[p][now]) { // 成功匹配，此位相反
            res |= (1 << i);
            p = trie[p][now];
        } else { // 匹配失败，这一位只能相等
            p = trie[p][!now];
        }
    }
    return res;
}

例题三 最长XOR序列

查看题目-暂无题目qwq

描述：还是给你一个序列，要求这个序列的某个子序列的异或和最大，求这个最大值。

（注：子序列是连续的，子串才是不连续的。

异或和是指连续异或的值，如4,7,10的异或和是4 xor 7 xor 10）

这里要用到异或的几个性质：

1. $a\mathrm{xor}b\mathrm{xor}c=(a\mathrm{xor}b)\mathrm{xor}c=a\mathrm{xor}(b\mathrm{xor}c)$

2. $a\mathrm{xor}a=0$

3. $a\mathrm{xor}0=a$