【实验性讲稿】级数与和式

我们首先要讨论的是级数。$\sum$ 是一个熟悉的符号——在有限集合或有限序列上的级数可以简单理解为求和，但当级数放到无限序列上时，它的含义就变成了序列前缀和的极限。无限序列上的级数许多显然的结论并不好证明，我们将学习多种判断无限级数是否收敛的方法，以及浅显地介绍一下级数的重排。

级数很快就要成为我们所研究的最常见的对象之一，我们一般意义上的有限级数（finite series）可以简单理解为一些数相加的和，即

$$a_m+a_{m+1}+\cdots +a_n$$

其中 $(a_k{)}_{k=m}^n$ 是一个实数数列，被称为级数的项（term）。上面式子的三个点号“$\cdots$”拥有多重含义，有时也许产生歧义，而且占用的空间较大。在数学分析和其他许多领域中，常用的级数的记号则是由J.傅里叶提出的，即

$$\sum _{k=m}^n{a}_k$$

这里使用的记号被称为 $\mathrm{\Sigma }$ （读音：西格玛）记号，因为它是大写的希腊字母 $\sigma$。其中 $k$ 被称为求和指标（index），也可以使用其他字母表示求和指标，如 $i,j,n$ 等。这个记号告诉我们级数包含的序列范围是从 $m$ 到 $n$（包含上下界）的那些 $a_k$。换句话说，我们对于每个 $k$ 从 $m$ 到 $n$ 求进行求和。而 $\mathrm{\Sigma }$ 记号后面的部分（这里是 $a_k$）被称为被加数（summand）。举个例子，从 $1$ 加到 $100$ 可以简单的记作

$$\sum _{k=1}^{100}k$$

形式化地，我们可以使用如下一个递归定义。

定义：有限级数

设 $(a_i{)}_{i=m}^n$ 是一个下标从 $m$ 到 $n$ 的有限序列，其有限级数的值定义为

• 若 $n<m$，则为 $0$；
• 若 $n\ge m$，则为 $(a_i{)}_{i=0}^{n-1}$ 的有限级数加上 $a_n$。

记作 $\sum _{i=m}^n{a}_i$，即

$$\sum _{i=m}^n{a}_i=\{\begin{array}{ll}0& n<m\\ \sum _{i=m}^{n-1}{a}_i& n\ge m\end{array}$$

我们一般把形如 $\sum _{i=m}^n{a}_i$ 的表达式称为级数，而把其值（为一实数）称为该级数的和。尽管从数学上而言，二者是相等的。

有限序列上的级数满足很多我们耳熟能详的性质，它们可以看做是多次运用加法的运算律的结果。

引理：有限级数的性质

设整数 $m,n$ 满足 $m⩽n$ 和 $(a_i{)}_{i=m}^n,(b_i{)}_{i=m}^n$ 是两个有限序列。

1. 设整数 $p$ 满足 $m⩽p<n$，则 $\sum _{i=m}^p{a}_i+\sum _{i=p+1}^n{a}_i=\sum _{i=m}^n{a}_i$。
2. 设 $k$ 是整数，则 $\sum _{i=m}^n{a}_i=\sum _{j=m+k}^{n+k}{a}_{j-k}$。
3. $\sum _{i=m}^n(a_i+b_i)=\sum _{i=m}^n{a}_i+\sum _{i=m}^n{b}_i$。
4. $\sum _{i=m}^n(c{a}_i)=c\sum _{i=m}^n{a}_i$。
5. $\left|\sum _{i=m}^n{a}_i\right|⩽\sum _{i=m}^n|a_i|$。
6. 若对于任意 $m⩽i⩽n$ 有 $a_i⩽b_i$，那么 $\sum _{i=m}^n{a}_i⩽\sum _{i=m}^n{b}_i$。

证明提示

使用数学归纳法即可。

不但如此，我们还可以让求和嵌套进行，也就是多维求和。举个例子，一个二维求和可以形如

$$\sum _{n=0}^N(\sum _{m=0}^{M}f(n,m))$$

其中 $f$ 是一个 $\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to R$ 的函数。不产生歧义时，括号也可以省略。更加灵活的，我们也可以在有限的集合上求和。具体而言，对于一个有限集合 $A$，我们使用记号

$$\sum _{k\in A}f(k)$$

表示我们对于集合 $A$ 中的每个 $k$ 求进行求和，其中 $f$ 是一个 $A\to \mathbb{R}$ 的映射。形式化地说，我们在有限级数和有限集合之间建立一个双射。

定义：有限集合求和

设 $X$ 是基数为 $n$ 的集合，$f$ 是 $X\to \mathbb{R}$ 的函数。那么任取一个 ${\mathbb{Z}}_{1..n}\to X$ 上的双射 $g$，定义有限和 $\sum _{x\in X}f(x)$ 为 $\sum _{i=1}^{n}f(g(i))$。

证明：有限和的结果和 $g$ 的选取无关

考虑对 $n$ 进行归纳。用命题 $P(n)$ 表示对于任意基数为 $n$ 的集合 $X$，在 $X$ 上的有限和的结果与 $g$ 的选取无关，那么 $P(0)$ 显然成立。

现在假设 $P(n)$ 成立，目标是证明 $P(n+1)$ 成立。具体而言，设 $g,h$ 是 ${\mathbb{Z}}_{1..n+1}\to X$ 上的任意的两个双射，目标是说明

$$\sum _{i=1}^{n+1}f(g(i))=\sum _{i=1}^{n+1}f(h(i))$$

为了简便起见，将 $g(n+1)$ 记作 $x$，那么根据有限级数的性质，有

$$\sum _{i=1}^{n+1}f(g(i))=\sum _{i=1}^{n}f(g(i))+f(x)$$

考虑 $h$ 的逆映射在 $x$ 处的取值，$h^{-1}(x)=n+1$ 的情况是平凡的。现在假设 $h^{-1}(x)\ne n+1$。那么我们构造 ${\mathbb{Z}}_{i..n}\to X\setminus \{x\}$ 的映射 $h^{\prime }$，满足

$$h^{\prime }(i)=\{\begin{array}{ll}h(n+1)& i=h^{-1}(x)\\ h(i)& i\ne h^{-1}(x)\end{array}$$

将 $h^{-1}(x)$ 简记为 $k$，那么

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n+1}f(h(i))& =(\sum _{i=1}^{k-1}f(h(i)))+(\sum _{i=k+1}^{n}f(h(i)))+f(h(k))+f(h(n+1))\\ & =\sum _{i=1}^{n}f(h^{\prime }(i))+f(x)\end{array}$$

代入归纳假设 $\sum _{i=1}^{n}f(g(i))=\sum _{i=1}^{n}f(h^{\prime }(i))$，立即就给出了欲证的结果。

为了方便，我们可以把

$$\sum _{y\in \{x\in X:P(x)\}}f(y)$$

简写为

$$\sum _{x\in X:P(x)}f(x)$$

甚至更简单的（如果 $X$ 是上下文自明的）

$$\sum _{P(x)}f(x)$$

有限集合上的求和的定义来自有限级数，因而类似地会导出很多性质。

引理：有限集求和的性质

设 $X$ 为基数为 $n$ 的有限集合，$f$ 为 $X\to \mathbb{R}$ 的函数。

1. 若 $X=\{x_0\}$，那么 $\sum _{x\in X}f(x)=f(x_0)$；

2. 替换引理：设 $g$ 是 $Y\to X$ 的双射，那么

   $$\sum _{x\in X}f(x)=\sum _{y\in Y}f(g(y))$$
   证明

   存在双射 $h:{\mathbb{Z}}_{1..n}\to Y$，于是 $\sum _{y\in Y}f(g(y))=\sum _{i=1}^{n}f(g(h(i)))$，可证 $g\circ h$ 也是 ${\mathbb{Z}}_{1..n}$ 到 $X$ 的双射，那么 $\sum _{i=1}^{n}f(g(h(i)))=\sum _{x\in X}f(x)$。

3. 设整数 $m\ge n$ 是整数，若 $X={\mathbb{Z}}_{n..m}$，那么

   $$\sum _{x\in X}f(x)=\sum _{i=n}^{m}f(i)$$
   证明

   设 $g:{\mathbb{Z}}_{1..m-n+1}\to X$ 满足 $g(i):=i+n-1$，容易验证 $g$ 定义合法且是双射。那么

   $$\sum _{x\in X}f(x)=\sum _{i=1}^{m-n+1}f(i+n-1)=\sum _{i=n}^{m}f(i)$$

4. 拆分引理：设 $X,Y$ 是不交的集合，$f$ 是 $X\cup Y\to \mathbb{R}$ 的函数。那么 $\sum _{x\in X}f(x)+\sum _{y\in Y}f(y)=\sum _{z\in X\cup Y}f(z)$。

   证明

   设 $X,Y$ 基数分别为 $n,m$。那么任取双射 $g:{\mathbb{Z}}_{1..n}\to X$ 和 $h:{\mathbb{Z}}_{1..m}\to Y$。定义 ${\mathbb{Z}}_{1..n+m}\to X\cup Y$ 的映射 $s$，满足

   $$s(i):=\{\begin{array}{ll}g(i)& 1⩽i⩽n\\ h(i-n)& n+1⩽i⩽n+m\end{array}$$

   容易证明 $s$ 定义合法且是双射。于是

   $$\begin{array}{rl}\sum _{x\in X}f(x)+\sum _{y\in Y}f(y)& =\sum _{i=1}^{n}f(g(i))+\sum _{i=1}^{m}f(h(i))\\ & =\sum _{i=1}^{n}f(s(i))+\sum _{i=1}^{m}f(s(i+n))\\ & =\sum _{i=1}^{n+m}f(s(i))=\sum _{z\in X\cup Y}f(z)\end{array}$$

5. 设函数 $g$ 是 $X\to \mathbb{R}$ 的映射，那么

$$\sum _{x\in X}(f(x)+g(x))=\sum _{x\in X}f(x)+\sum _{x\in X}g(x)$$

6. 设 $c$ 为实数，那么 $\sum _{x\in X}cf(x)=c\sum _{x\in X}f(x)$。

7. $|\sum _{x\in X}f(x)|\le \sum _{x\in X}|f(x)|$。

8. 设函数 $f:X\to \mathbb{R}$ 和 $g:X\to \mathbb{R}$，且对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)⩽g(x)$，那么 $\sum _{x\in X}f(x)⩽\sum _{x\in X}g(x)$。

作为上面性质中第 3 条的拓展，多维求和实际上与集合的求和也具有等价的形式。例如在二重求和上，我们设 $f$ 是 ${\mathbb{Z}}_{a..b}\times {\mathbb{Z}}_{c..d}\to \mathbb{R}$ 的函数，那么

$$\sum _{i=a}^b\sum _{j=c}^{d}f(i,j)=\sum _{(i,j)\in {\mathbb{Z}}_{a..b}\times {\mathbb{Z}}_{c..d}}f(i,j)$$

更多维的情况也是类似的。一个更强的结论在有限集合上进行多维求和的情况，我们发现有限集合上进行多维求和等于在这些集合的笛卡尔积上求和，即

$$\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}f(x,y)=\sum _{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)$$

下面是这个命题的形式化表述和证明：

引理：多维有限和转化为单维求和

设$X,Y$ 是两个有限集，那么对于任意定义在 $X\times Y\to \mathbb{R}$ 上的函数 $f$，有

$$\sum _{x\in X}(\sum _{y\in Y}f(x,y))=\sum _{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)$$

证明

令命题 $P(n)$ 表示当 $X$ 的基数恰为 $n$ 是原命题对于任意有限集合 $Y$ 均成立。我们关于 $n$ 进行数学归纳，其中 $n=0$ 时原式等号两边显然均为 $0$。

现在假设 $P(n)$ 成立，目标是证明 $P(n+1)$。由于 $n+1\ge 1$，即 $X$ 不是空集，我们任取 $x_0\in X$，并记 $X_0=X\setminus \{x_0\}$。根据归纳假设，有

$$\sum _{x\in X_0}\sum _{y\in Y}f(x,y)=\sum _{(x,y)\in X_0\times Y}f(x,y)$$

另一方面，根据拆分引理，我们有

$$\begin{array}{rl}\text{L.H.S.}& =(\sum _{x\in X_0}\sum _{y\in Y}f(x,y))+(\sum _{y\in Y}f(x_0,y))\\ \text{R.H.S.}& =(\sum _{(x,y)\in X_0\times Y}f(x,y))+(\sum _{(x,y)\in \{x_0\}\times Y}f(x,y))\end{array}$$

另一方面，根据笛卡尔积的性质，几乎立即就给出了

$$\sum _{y\in Y}f(x_0,y)=\sum _{(x,y)\in \{x_0\}\times Y}f(x,y)$$

带回上面式子即可完成证明。

另一方面，我们可以将笛卡尔积的集合所枚举的指标的顺序交换一下，即

$$\sum _{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)=\sum _{(y,x)\in Y\times X}f(y,x)$$

定理：交换求和顺序-有限集合版（又称“富比尼定理-离散有限集合版”）

设 $X,Y$ 是两个有限集合和 $f$ 是 $X\times Y\to \mathbb{R}$ 的函数，那么

$$\sum _{(x,y)\in X\times Y}f(x,y)=\sum _{(y,x)\in Y\times X}f(x,y)$$

证明

考虑 $Y\times X\to X\times Y$ 的双射 $r$，满足 $r(y,x)=(x,y)$。将 $r$ 和原式右边代入替换引理，立即就给出了

$$\text{L.H.S.}=\sum _{(y,x)\in Y\times X}f(r(y,x))=\text{R.H.S}$$

将这个式子的两边同时转化为二维求和的形式，我们就得到了

$$\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}f(x,y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}f(x,y)$$

这个直接推论说明我们可以交换有限级数的求和顺序，我们把这个重要推论称为“交换求和顺序定理-有限级数版”或“富比尼定理-离散有限级数版”。

以上都只是有限的求和，本质上还都是在把我们已经十分熟悉的加法系统地描述一遍而已。下面开始介绍无限级数。我们一般意义上的无限级数（infinite series）可以简单理解为无穷个数逐个相加的和极限，即

$$a_m+a_{m+1}+\cdots$$

其中 $(a_k{)}_{k=m}^n$ 是一个实数数列，被称为级数的项（term）。当然，我们还是使用级数的 $\mathrm{\Sigma }$ 记号来表述，即

$$\sum _{k=m}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$$

这里的 $\mathrm{\infty }$ 并非是指一个实际数表示求和上界，而只是再说明这是一个无限级数的占位形式记号。举个例子，我们考虑级数

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}$$

它各项的值和前缀和由下标给出

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\cdots$
$2^{-n}$	$1$	$0.5$	$0.25$	$0.125$	$\cdots$
$\sum _{k=0}^n{2}^{-k}$	$1$	$1.5$	$1.75$	$1.875$	$\cdots$

多计算几项即可发现，这个前缀和看起来最终收敛于 $2$，于是我们声称

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}=2$$

但是考虑下面这些无限级数，

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{-k},\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\cos (k),\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}$$

它们看起来即使计算很多项也不会稳定在某个数，因此我们必须对无限级数小心地进行形式化定义：

定义：无限级数

设 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是一个从 $m$ 开始的无限的实数序列，记实数数列 $s_n=\sum _{k=m}^n{a}_k$。定义序列上的无限级数 $\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 如下

• 如果 $(s_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时的极限收敛，那么称 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 的无限级数收敛（convergent），值为 $(s_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 在$n\to \mathrm{\infty }$ 时的极限；
• 如果 $(s_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时的极限发散，那么称 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 的无限级数发散（divergent），并不赋予它任何实数值。