杂谈：二项式反演与多步容斥

这是两个本质不同的东西。

多步容斥是“至少或至多选若干个”到“恰好选若干个”的变换。而二项式反演是“钦定选若干个”到“恰好选若干个”的变换。二项式反演虽然形式上和多步容斥极为相似，但它们并不等价，只是习惯上很多人把他们都称之为多步容斥。

在二项式反演的组合意义上，记 $f(n)$ 表示 “钦定选 $n$ 个”，$g(n)$ 表示 “恰好选 $n$ 个”，则对于任意的 $i\ge n$，$g(i)$ 在 $f(n)$ 中被计算了 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})$ 次，故有

$$f(n)=\sum _{i=n}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})g(i)$$

其中 $m$ 是数目上界。

十分值得注意的是，在定义中，$f(n)$ 表示先钦定 $n$ 个，再统计钦定情况如此的方案数，其中会包含重复的方案，因为一个方案可以有多种钦定情况。具体地，对于恰好选择 $i$ 个，钦定情况数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})$，故 $g(i)$ 在 $f(n)$ 中被计算了 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})$ 次。切勿将 $f(n)$ 理解为普通的后缀和。

举个例子，错排数 $D_n$ 的一个公式是

$$D_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(n-k)!$$

这个公式是对的，然而从容斥的角度看毫无疑问是似是而非的。如果把 $(-1{)}^k$ 理解为容斥系数，这个式子的意思似乎是先选定至少 $k$ 个位置使得 $a_i=i$，剩下的随意排，也就是至少 $k$ 个位置不错位的方案数，但仔细想想并不是这样的。

考虑 $n=3,k=1$ 时公式给出方案数为 $6$，而实际上只有下面四种方案：

$$123,132,321,213$$

这是因为 $123$ 被计算了 $3$ 次，毫无疑问这里从容斥原理的角度看是算重复了。但是重二项式反演的角度看则刚刚好：设 $f_i$ 表示恰好有 $i$ 个 $a_k=k$ 的排列数，$g_i$ 表示钦定有 $i$ 个 $a_k=k$ 的排列数，那么

$$g_i=\sum _{j\ge i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})f_j$$

二项式反演得到

$$f_i=\sum _{j\ge i}(-1{)}^{j-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})g_j$$

我们要求的就是 $f_0$。