线性代数1 行列式

二阶行列式

所谓二阶行列式，是由四个数，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$a_{21}$，$a_{22}$ 排列成含有两行两列形如 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ 的式子，它表示一个数值，其展开式为

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

三阶行列式

所谓三阶行列式，是由九个数，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$a_{13}$，$a_{21}$，$a_{22}$，$a_{23}$，$a_{31}$，$a_{32}$，$a_{33}$ 排列成含有三行三列形如 $\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$ 的式子，它表示

一个数值，其展开式为

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$$

n阶行列式

我们观察二、三阶行列式的定义，顺便定义一下一阶行列式：

（几乎全是复制）

所谓一阶行列式，是由一个数，如 $a_{11}$ 排列成含有一行一列形如 $\left|\begin{array}{c}{a}_{11}\end{array}\right|$ 的式子，它表示一个数值，其展开式为

$$\left|\begin{array}{c}{a}_{11}\end{array}\right|=a_{11}$$

有了一阶行列式的定义，我们考虑像三阶行列式一样递归的定义二阶行列式：

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{c}{a}_{22}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{c}{a}_{21}\end{array}\right|$$

至此，$n$ 阶行列式的定义几乎呼之欲出了：
所谓 $n$ 阶行列式，是由 $n^2$ 个数，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$\cdots$，$a_{nn}$ 排列成含有 $n$ 行 $n$ 列形如 $\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$ 的式子，它表示一个数值，其展开式为

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}{a}_{1i}\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{21}& \cdots & a_{2i-1}& a_{2i+1}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{ni-1}& a_{ni+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

（其实就是对于第一行的每个元素，用它乘除了它同行同列的剩下来数构成的子行列式。）

上式中令

$$M_{1i}=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{21}& \cdots & a_{2i-1}& a_{2i+1}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ \cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{ni-1}& a_{ni+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\$\$，\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{元}\mathrm{素}\$a_{1i}\$\mathrm{的}\ast \ast \mathrm{余}\mathrm{子}\mathrm{式}\ast \ast 。\mathrm{令}$$

A_{1i}=(-1)^{i+1}M_{1i}$$，称为元素 $a_{1j}$ 的代数余子式。

行列式在解线性方程的运用：Cramer法则

目标：求解关于 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ 的 $n$ 元线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

Cramer法则求解：

令

$$D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

，称之为该方程组的系数行列式。

同时，把行列式 $D$ 的第 $i$ 列替换为方程组的常数列项（$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$），得到新的行列式记为 $D_i$，即

$$D_1=\left|\begin{array}{cccc}{b}_1& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ b_2& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ b_n& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,D_2=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& b_1& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& b_2& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& b_n& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,\cdots ,D_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & b_2\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & b_n\end{array}\right|$$

若线性方程组的系数行列式 $D\ne 0$，则该方程组有唯一解：

$$x_i=D/D_i(i=1,2,\cdots ,n)$$

Cramer法则的应用

例题 求解二元线性方程组

$$\{\begin{array}{l}5x_1+x_2=4\\ 2x_1-3x_2=5\end{array}$$

解 这个线性方程组的系数行列式为

$$D=\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& -3\end{array}\right|=-17$$

由于 $D=17\ne 0$，该线性方程组有唯一解，

$$D_1=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 5& -3\end{array}\right|=-17,D_2=\left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 5\end{array}\right|=17$$

即

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=D/D_1=1\\ x_2=D/D_2=-1\end{array}$$

Cramer法则与齐次性

若线性方程组的常数项全为零，即

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=0\end{array}$$

则称该线性方程组为齐次线性方程组。反之，如果常数项不全为零，则称之为非齐次线性方程组。

齐次线性方程组永远有解，这组解为 $x_i=0(i=1,\cdots ,n)$，这组解被称为零解。
由Cramer法则容易知道，当线性方程的系数行列式不等于 $0$ 时，方程只有零解。

Cramer法则的局限性

1. 应用Cramer法则求解 $n$ 元线性方程组时，必须有 $n$ 条方程。
2. 应用Cramer法则求解 $n$ 元线性方程组时，因涉及到行列式的计算问题，即需要计算 $n+1$ 个 $n$ 阶行列式的值，这样，随着 $n$ 的增大，求解的计算量是相当大的。

行列式的性质

行列式转置：

对于行列式

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

其转置为

$$D^T=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性质1 $D$ = $D^T$
推论 行列式可按任一行（列）展开，即

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$

（其中 $A_{ij}$即为上文所提到的代数余子式。）

性质2 行列式可以按行（列）提取公因子，即

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性质3 行列式中某一行（列）元素全为零时，值为零。
性质4 行列式两行（列）互换值反号，即

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性质5 行列式可以拆行（列）相加，即

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{i1}+a_{i1}^{\prime }& a_{i2}+a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}+a_{in}^{\prime }\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{i1}^{\prime }& a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}^{\prime }\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性质6 行列式两行（列）成比例值为零。
推论 行列式两行（列）相同值为零。
性质7 行列式某行（列）的倍数加到另一行（列）值不变，即

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{i1}+a_{j1}& a_{i2}+a_{j2}& \cdots & a_{in}+a_{jn}\\ \cdots & ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$