为什么会变成这样呢？ #2（绝对值与最大值转换）

优化动态规划式子，$1\le i\le n$，其中 $a_i$ 和 $b_i$ 都是预先给定的常数：

$$f(i)=\underset{1\le k\le i}{max}f(k-1)+|a_i-a_k|+|b_i-b_k|$$

期望复杂度：$O(n)$。

解答：lcw's trick

注意到 $|x-y|=max\{x-y,y-x\}$，于是考虑令

$$\begin{array}{rl}{g}_{00}(i)& =\underset{1\le k\le i}{max}f(k-1)-a_k-b_k\\ g_{01}(i)& =\underset{1\le k\le i}{max}f(k-1)-a_k+b_k\\ g_{10}(i)& =\underset{1\le k\le i}{max}f(k-1)+a_k-b_k\\ g_{11}(i)& =\underset{1\le k\le i}{max}f(k-1)+a_k+b_k\end{array}$$

于是，显然有 $O(1)$ 递推式

$$\begin{array}{rl}{g}_{00}(i)& =max\{g_{00}(i-1),f(i)-a_i-b_i\}\\ g_{01}(i)& =max\{g_{01}(i-1),f(i)-a_i+b_i\}\\ g_{10}(i)& =max\{g_{10}(i-1),f(i)+a_i-b_i\}\\ g_{11}(i)& =max\{g_{11}(i-1),f(i)+a_i+b_i\}\end{array}$$

另一方面，我们有

$$f(i)=max\left\{\begin{array}{rl}& g_{00}(i-1)+a_i+b_i,\\ & g_{01}(i-1)+a_i-b_i,\\ & g_{10}(i-1)-a_i+b_i,\\ & g_{11}(i-1)-a_i-b_i\end{array}\right\}$$

这立即得到了一个 $O(n)$ 的递推。

例题：

• CF1859E 参考实现：218582129