为什么会变成这样呢？ #1 （最小异或生成树）

对于 $n$ 个点的完全图，点 $i$ 和点 $j$ 之间的边权为 $a_i\oplus a_j$，求该图的最小生成树，其中 $\oplus$ 表示按位异或。

期望复杂度：$O(n\log n\log a_i)$。

解答

把所有 $a_i$ 插入 01trie。一个显然的结论是，对于在最终生成树上任意两个点之间的路径，其经过的点都一定在两点在 trie 上的 LCA 的子树内。于是遍历每个节点，设它的左右两个儿子内的节点已经连通，现在关心连接左右两个儿子的边的权值。这相当于问两个集合内的各选一个数，使得选出的两个数的异或值尽可能小，这是经典问题，枚举一个集合内的数，在另一个集合的 trie 树上匹配即可。

只要保证每次枚举较小的集合，每个点会被合并至多 $\log n$ 次，是典型的启发式合并复杂度。不过由于 trie 的深度不超过 $\log a_i$，因此其实每次任选一个集合也可以保证每个点会被合并至多 $\log a_i$ 次，复杂度差异不大。

例题：

• CF888G 参考实现 216921970
• CF1849F 参考实现 216923257