组合杂题选讲 #8

问题描述

题意：现在有 $n$ 个人要成立若干个社团（一个人可以属于多个社团，也可以不属于任何社团）满足

• 没有两个社团包含的成员完全相同；
• 存在一个整数 $t$，使得任意两个不同的社团所共有的成员数恰好为 $t$。

求证：所能成立的社团数量不超过 $n$ 个。

提示：形式化地说，设 $U=\{1,2,\dots ,n\}$，已知集簇 $S\subseteq 2^U$ 满足存在 $t\in U$，使得对于任意 $A,B\in S$，要么 $|A\cap B|=t$，要么 $A=B$。求证 $|S|\le n$。

设 $A$ 是一个集合，记号 $2^A$ 表示由 $A$ 的所有子集组成的集簇（集合的集合）。

容易发现，只要每个人均成立一个只包含自己的社团，就可以成立恰好 $n$ 个社团，满足每个社团的成员均不相同，且任意两个不同的社团所共有的成员数量均为 $0$（也即 $t=0$）。

无论是题面还是证明，这个问题和组合杂题选讲 #3 非常相似，因此也建议读者自行举一反三，尝试找出证明。

解答

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假设已经确定了某种成立 $m$ 个社团的方案，第 $i(1\le i\le m)$ 个社团包含的成员的集合记作 $C_i$。

（分类讨论）如果存在某个 $C_i$ （不妨设为 $C_1$）满足 $|C_i|=t$，那么一定有 $t\ge 1$ 且 $C_1⊊C_i(2\le i\le m)$。于是对于任意不相同的 $i,j\ge 2$，一定有

$$C_i\cap C_j=C_1$$

那么所有 $C_i\setminus C_1(i\ge 2)$ 均是非空的不交集合，这样的集合的数量至多为 $n-|C_1|\le n-1$，于是总集合数 $m\le n$。

另一方面，现在假设不存在某个 $C_i$，满足 $|C_i|=t$，也即对于任意 $C_i$ 均有 $|C_i|\ge t$。考虑构造 ${\mathbb{R}}^{m\times n}$ 上的矩阵 $A$，满足

$$A_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1& j\in C_i\\ 0& j\notin C_i& \end{array}$$

并构造 ${\mathbb{R}}^{m\times m}$ 上的矩阵 $B=A{A}^{\mathsf{T}}$，考虑 $B$ 的组合意义，于是

$$B_{i,j}=\{\begin{array}{ll}|C_i|& i=j\\ t& i\ne j\end{array}$$

我们用 $\dim V$ 表示线性空间 $V$ 的维数（线性基的个数），用 $\mathrm{range}T$ 表示线性变换 $T$ 的值域。用 $\mathrm{null}T$ 表示线性变换 $T$ 的零空间，即被 $T$ 映射到零向量的向量组成的集合。

那么只要验证 $B$ 是双射就即可说明，

$$m=\dim \mathrm{range}B\le \dim \mathrm{range}A\le n$$

而验证 $B$ 是双射只需要把 $B$ 写成

$$B=t{\mathrm{J}}_m+\mathrm{diag}(|C_1|-t,\dots ,|C_m|-t)$$

的形式，其中 $J_m$ 表示全为 $1$ 的 $m$ 阶矩阵，$\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_m)$ 表示对角线上分别为 $a_1,\dots ,a_m$ 的对角矩阵。然后根据行列式的定义论证 $detB\ne 0$ 即可。

另一方面，我们也可以通过说明 $B$ 是正定矩阵来证明该命题，具体而言，就是说明 $B$ 是对称矩阵且对于任意非零向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$，均有 ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}B\mathbf{x}>0$。

为了简便起见，将 $|C_i|$ 记作 $d_i$，将 $\mathrm{diag}(d_1-t,\dots ,d_m-t)$ 记作矩阵 $D$。注意到 $d_i-t>0$ 对于任意整数 $1\le i\le m$ 均成立，于是显然矩阵 $D$ 是正定矩阵。同时 ${\mathrm{J}}_m$ 显然是半正定矩阵，也即对于任意非零向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$，均有 ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}{\mathrm{J}}_m\mathbf{x}={\left(\sum _{i=1}^m{\mathbf{x}}_i\right)}^2\ge 0$。于是，对于任意非零向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$，

$${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}B\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}(t{\mathrm{J}}_n+D)\mathbf{x}=t{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}{\mathrm{J}}_n\mathbf{x}+{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}D\mathbf{x}>0$$

这说明 $B$ 是正定矩阵，根据正定矩阵的定义，有 $\dim \mathrm{null}T=0$，即 $B$ 是双射。

2023年1月22日 于深圳南山前海

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