组合杂题选讲 #7

题目描述

题意：每次抽卡时会从 $n$ 种卡里随机获得一种，那么期望上抽到全部 $n$ 种卡需要抽多少次？

提示：随机试验中某个变量的数学期望（简称“期望”）是指该变量所有可能的结果的概率乘以其结果的总和。例如一个理想情况下的骰子的点数的数学期望由

$$\frac{1}{6}\times 1+\frac{1}{6}\times 2+\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{6}\times 6=\frac{7}{2}$$

给出。而投掷两个理想情况下的骰子得到的点数之和的期望由

$$\frac{1}{36}\times 2+\frac{2}{36}\times 3+\frac{3}{36}\times 4+\frac{4}{36}\times 5+\frac{5}{36}\times 6+\frac{6}{36}\times 7+\frac{5}{36}\times 8+\frac{4}{36}\times 9+\frac{3}{36}\times 10+\frac{2}{36}\times 11+\frac{1}{36}\times 12=7$$

给出。

容易验证，当 $n=5$ 的时候，答案为 $137/12$。

解答

我们用记号 $\mathbf{E}(a)$ 表示随机试验中变量 $a$ 的数学期望。已经抽卡的次数简称为时刻，例如“取出抽出 $3$ 张不同种的卡的时刻”的意思是“取出抽出 $3$ 张不同种的卡时已经进行的抽卡次数”。

设这 $n$ 种卡片首次出现的时间构成的可重集合为 $S$，所求即为 $\mathbf{E}(maxS)$，根据容斥原理（min-max容斥），有

$$\mathbf{E}(maxS)=\sum _{T\subseteq S,T\ne \varnothing }(-1{)}^{|T|-1}\mathbf{E}(minS)$$

考虑 $\mathbf{E}(minT)$ 的组合意义，即为集合 $T$ 中对应包含的卡片首次出现的时刻的期望，于是 $\mathbf{E}(minT)=n/|T|$，代回原式，得到

$$\begin{array}{rl}\mathbf{E}(maxS)& =\sum _{T\subseteq S,T\ne \varnothing }(-1{)}^{|T|-1}\frac{n}{|T|}\\ & =n\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k^{-1}\end{array}$$

考虑右边的那个和式怎么处理，记

$$S_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k^{-1}$$

考虑对 $S_n$ 应用加法公式

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})$$

以及吸收恒等式

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})$$

得到

$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}((\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k}))k^{-1}\\ & =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+\sum _{k=1}^{n-1}(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})k^{-1}\\ & =S_{n-1}+\frac{1}{n}\end{array}$$

考虑到 $S_0=0$，这立即得出原问题的答案是 $n{\mathrm{H}}_n$，其中 ${\mathrm{H}}_n$ 为第 $n$ 项调和级数，其公式由

$${\mathrm{H}}_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$

给出。

2022年12月19日 于东莞松山湖