组合杂题选讲 #6

题目描述

题意：请证明，平面上不存在 \(4\) 个点，使得任意两个点之间的距离均为奇整数。

提示：这里所说的距离是指欧几里得距离，即点 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 之间的距离由

\[\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \]

给出。

容易发现，平面上 \(3\) 个点两两之间的距离均为奇数是可能的（边长为 \(1\) 的等边三角形）。

解答

（反证法）假设存在四个点两两之间的距离均为奇数。不妨设其中一个点为的向量 \(\mathbf0\)，另外三个点的向量分别为 \(a,b,c\)。用记号 \(\langle u,v\rangle\) 表示向量 \(u,v\) 的点积，记号 \(||v||\) 表示向量 \(v\) 的范数（又称“模长”），它们之间的关系由

\[||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \]

给出。根据反证假设，有 \(||a||,||b||,||c||,||a-b||,||b-c||,||c-a||\) 均为奇数。

考虑模 \(8\) 意义下的整数域 \(\mathbb Z_8\)，容易发现其中任意一个奇数的平方一定为 \(1\)。然后运用余弦定理，得到

\[2\langle a,b\rangle=||a||^2+||b||^2-||a-b||^2=1 \]

类似的，有 \(2\langle a,c\rangle=1\) 和 \(2\langle b,c\rangle=1\)。考虑 \(\mathbb Z_8^3\to\mathbb Z_8^3\) 上的线性变换 \(B\)，满足

\[B=\left[\begin{matrix}\langle a,a\rangle&\langle a,b\rangle&\langle a,c\rangle\\\langle b,a\rangle&\langle b,b\rangle&\langle b,c\rangle\\\langle c,a\rangle&\langle c,b\rangle&\langle c,c\rangle\end{matrix}\right] \]

于是根据上面的结果，有

\[2B=\left[\begin{matrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{matrix}\right] \]

我们用 \(\dim V\) 表示线性空间 \(V\) 的维数（线性基的个数），\(\mathrm{range\ } T\) 表示线性变换 \(T\) 的值域，\(\operatorname{null}T\) 表示线性变换 \(T\) 的零空间（经过 \(T\) 变为 \(\mathbf 0\) 的向量构成的子空间）。容易验证 \(\dim\operatorname{range}2B=3\)，于是

\[\dim\operatorname{range}B=3 \]

另一方面，考虑 \(\mathbb Z_8^3\to\mathbb Z_8^2\) 上的线性变换 \(A\)，满足

\[A=\left[\begin{matrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{matrix}\right] \]

容易验证 \(B=A^{\mathsf T}A\)，于是 \(\operatorname{range}B\subseteq\operatorname{range}A^{\mathsf T}\)，另一方面，根据线性变换基本定理，有

\[\dim\mathbb Z_8^2=\dim\operatorname{range}A^{\mathsf T}+\dim\operatorname{null}A^{\mathsf T} \]

这说明，\(\dim\operatorname{range}A^{\mathsf T}\leq2\)。联立上述结果，得到

\[3=\dim\operatorname{range}B\leq\dim\operatorname{range}A^{\mathsf T}\leq2 \]

这个结果显然荒谬的，故假设不成立。原命题得证。

2022年12月17日 与东莞松山湖