组合杂题选讲 #6

题目描述

题意：请证明，平面上不存在 $4$ 个点，使得任意两个点之间的距离均为奇整数。

提示：这里所说的距离是指欧几里得距离，即点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 之间的距离由

$$\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$$

给出。

容易发现，平面上 $3$ 个点两两之间的距离均为奇数是可能的（边长为 $1$ 的等边三角形）。

解答

（反证法）假设存在四个点两两之间的距离均为奇数。不妨设其中一个点为的向量 $\mathbf{0}$，另外三个点的向量分别为 $a,b,c$。用记号 $⟨u,v⟩$ 表示向量 $u,v$ 的点积，记号 $||v||$ 表示向量 $v$ 的范数（又称“模长”），它们之间的关系由

$$||v||=\sqrt{⟨v,v⟩}$$

给出。根据反证假设，有 $||a||,||b||,||c||,||a-b||,||b-c||,||c-a||$ 均为奇数。

考虑模 $8$ 意义下的整数域 ${\mathbb{Z}}_8$，容易发现其中任意一个奇数的平方一定为 $1$。然后运用余弦定理，得到

$$2⟨a,b⟩=||a|{|}^2+||b|{|}^2-||a-b|{|}^2=1$$

类似的，有 $2⟨a,c⟩=1$ 和 $2⟨b,c⟩=1$。考虑 ${\mathbb{Z}}_8^3\to {\mathbb{Z}}_8^3$ 上的线性变换 $B$，满足

$$B=\left[\begin{array}{ccc}⟨a,a⟩& ⟨a,b⟩& ⟨a,c⟩\\ ⟨b,a⟩& ⟨b,b⟩& ⟨b,c⟩\\ ⟨c,a⟩& ⟨c,b⟩& ⟨c,c⟩\end{array}\right]$$

于是根据上面的结果，有

$$2B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$$

我们用 $\dim V$ 表示线性空间 $V$ 的维数（线性基的个数），$\mathrm{range}T$ 表示线性变换 $T$ 的值域，$\mathrm{null}T$ 表示线性变换 $T$ 的零空间（经过 $T$ 变为 $\mathbf{0}$ 的向量构成的子空间）。容易验证 $\dim \mathrm{range}2B=3$，于是

$$\dim \mathrm{range}B=3$$

另一方面，考虑 ${\mathbb{Z}}_8^3\to {\mathbb{Z}}_8^2$ 上的线性变换 $A$，满足

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right]$$

容易验证 $B=A^{\mathsf{T}}A$，于是 $\mathrm{range}B\subseteq \mathrm{range}{A}^{\mathsf{T}}$，另一方面，根据线性变换基本定理，有

$$\dim {\mathbb{Z}}_8^2=\dim \mathrm{range}{A}^{\mathsf{T}}+\dim \mathrm{null}{A}^{\mathsf{T}}$$

这说明，$\dim \mathrm{range}{A}^{\mathsf{T}}\le 2$。联立上述结果，得到

$$3=\dim \mathrm{range}B\le \dim \mathrm{range}{A}^{\mathsf{T}}\le 2$$

这个结果显然荒谬的，故假设不成立。原命题得证。

2022年12月17日 与东莞松山湖