组合杂题选讲 #5

平面上有红色点和蓝色点各

n

个，且这

2 n

个点没有三个点共线。我们称一种红蓝点之间的配对方案合法，是指在每对点之间用线段连接后，得到的

n

条线段没有交点。求证：一定存在一种合法的配对方案。

题目描述

题意：平面上有红色点和蓝色点各 $n$ 个，且这 $2 n$ 个点没有三个点共线。我们称一种红蓝点之间的配对方案合法，是指在每对点之间用线段连接后，得到的 $n$ 条线段没有交点。求证：一定存在一种合法的配对方案。

提示：设 $U = {1, 2, \dots, n}$ ，红色点分别为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ ，蓝色点分别为 $q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}$ 。一种配对方案是指 $U \to U$ 的一个双射 $f$ 。一种配对方案合法当且仅当线段集合 ${(p_{k}, q_{f (k)}) : k \in U}$ 中任意两条线段均不相交。

举个例子，当 $n = 3$ 时，下图为一种合法的配对方案，

合法方案示意图

而下图为一种不合法的配对方案，

不合法方案示意图

解答

$n = 1$ 的情况是平凡的，下面均假设 $n \geq 2$ 。

（反证法）假设不存在一种合法的配对方案。从全部配对方案中选出连接的线段长度之和最短的一种方案，根据反证假设一定存在两条线段相交，设相交的两条线段的红色端点分别为点 $A$ 和点 $B$ ，蓝色端点分别为点 $C$ 和点 $D$ ， $A$ 和 $C$ 配对， $B$ 和 $D$ 配对， $A C$ 和 $B D$ 的交点为 $E$ 。