组合杂题选讲 #4

问题描述

题意：已知有一个 $n$ 点的无向图 $G$ 不包含三元环，求 $G$ 边数的最大值。

提示：设 $G=(V,E)$ 是一个无向图。我们称 $G$ 包含三元环是指存在三个点 $a,b,c$ 满足 $\{(a,b),(b,c),(a,c)\}\subseteq E$。

例如当 $n=5$ 时，下面是一个不包含三元环的图的例子，

该图包含 $5$ 个点和 $6$ 条边，可以证明所有没有三元环的 $5$ 个点的无向图的边数均不超过 $6$。

解答

设 $G=(V,E)$ 是某个无向图，包含 $n$ 个点 $m$ 条边。点 $v$ 的度数是指连接点 $v$ 的边的数量，记作 $\mathrm{d}(v)$。于是有

$$\sum _{x\in V}\mathrm{d}(x)=2m$$

以及

$$\begin{array}{rl}\sum _{x\in V}{\mathrm{d}}^2(x)& =\sum _{x\in V}\sum _{(x,y)\in E}\mathrm{d}(x)\\ & =\sum _{(x,y)\in E}\mathrm{d}(x)+\mathrm{d}(y)\end{array}$$

现在假设 $G$ 不包含三元环。若 $(x,y)$ 是图 $G$ 的边，那么对于任意一个点 $v$，一定有 $(x,v)\notin E$ 或 $(y,v)\notin E$，这说明

$$\mathrm{d}(x)+\mathrm{d}(y)\le n$$

于是

$$\sum _{(x,y)\in E}\mathrm{d}(x)+\mathrm{d}(y)\le nm$$

另一方面，根据柯西-施瓦茨不等式得到

$$\sum _{x\in V}{\mathrm{d}}^2(x)\ge \frac{1}{n}{(\sum _{x\in V}\mathrm{d}(x))}^2=\frac{4m^2}{n}$$

联立上述结果，得到

$$nm\ge \sum _{(x,y)\in E}\mathrm{d}(x)+\mathrm{d}(y)=\sum _{x\in V}{\mathrm{d}}^2(x)\ge \frac{4m^2}{n}$$

整理得到 $m\le n^2/4$，这说明 $m$ 的值不会超过 $\lfloor n^2/4\rfloor$，这个上界可以由完全二分图 $\mathrm{K}(\lfloor n/2\rfloor ,\lceil n/2\rceil )$ 取到。

2022年12月16日 与东莞松山湖