组合杂题选讲 #3

问题描述

题意：现在有 $n$ 个人要成立若干个社团（一个人可以属于多个社团）满足

• 每个社团的人数均为奇数；
• 任意两个不同的社团所共有的成员数量为偶数。

求证：所能成立的社团数量不超过 $n$ 个。

提示：形式化地说，记 $U=\{1,2,\dots ,n\}$，已知集簇 $S\subseteq 2^U$ 满足对于任意 $A,B\in S$，$|A\cap B|$ 为奇数当且仅当 $A=B$。求证 $|S|\le n$。

设 $A$ 是一个集合，记号 $2^A$ 表示由 $A$ 的所有子集组成的集簇（集合的集合）。

容易发现，只要每个人均成立一个只包含自己的社团，就可以成立恰好 $n$ 个社团，满足每个社团的人数均为奇数（$1$ 个），任意两个不同的社团所共有的成员数量为偶数（$0$ 个）。

解答

假设已经确定了某种成立 $m$ 个社团的方案，第 $i(1\le i\le m)$ 个社团包含的成员的集合记作 $C_i$。

我们考虑一个二元域 ${\mathbb{Z}}_2$，包含 $\{0,1\}$ 两个元素，在域上定义模 $2$ 意义下的加法和乘法。构造 ${\mathbb{Z}}_2^{m\times n}$ 上的矩阵 $A$，满足

$$A_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1& j\in C_i\\ 0& j\notin C_i\end{array}$$

我们用 $\dim V$ 表示线性空间 $V$ 的维数（线性基的个数），$\mathrm{range}T$ 表示线性变换 $T$ 的值域。由于 $A$ 是 ${\mathbb{Z}}_2^n\to {\mathbb{Z}}_2^m$ 的线性变换，其值域的维数一定满足不等式

$$\dim \mathrm{range}A\le n$$

考虑 $A{A}^{\mathsf{T}}$ 这两个矩阵的乘积，是一个 $m\times m$ 的矩阵，根据其第 $i$ 行第 $j$ 列的值所代表的组合意义，容易看出

$$(A{A}^{\mathsf{T}}{)}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1& |C_i\cap C_j|\text{是奇数}\\ 0& |C_i\cap C_j|\text{是偶数}\end{array}$$

根据题目的约束条件，$|C_i\cap C_j|$ 是奇数当且仅当 $i=j$，所以对角线上的数均为 $1$，其余位置的数均为 $0$，于是

$$A{A}^{\mathsf{T}}=\mathbf{I}$$

其中 $\mathbf{I}$ 表示 $m$ 阶单位矩阵，这意味着

$$\dim \mathrm{range}\mathbf{I}=m$$

另一方面，显然有 $\mathrm{range}A{A}^{\mathsf{T}}\subseteq \mathrm{range}A$，于是

$$\dim \mathrm{range}A{A}^{\mathsf{T}}\le \dim \mathrm{range}A$$

联立上述结果，得到

$$m=\dim \mathrm{range}\mathbf{I}=\dim \mathrm{range}A{A}^{\mathsf{T}}\le \dim \mathrm{range}A\le n$$

这表明 $m\le n$ 始终成立，原命题得证。

2022年12月9日 于东莞松山湖