组合杂题选讲 #1

问题描述

题意：一个长度为 $n$ 的由 $-1$ 或 $1$ 构成的序列 $a$，其中 $1$ 的个数为 $c$ 个。我们称一个子区间合法是指该子区间的数的和大于等于 $0$。求证：所有合法子区间的左端点的数量不超过 $2c$ 个。

提示：子区间是指序列中连续的一段，形式化地说，问题是求证

$$\left|\{l:{\mathrm{\exists }}_{r\ge l}\left(\sum _{i=l}^r{a}_i\right)\ge 0\}\right|\le 2c$$

举个例子，若 $n=8,c=3$，序列 $a$ 为

$$-1,1,1,-1,-1,1,-1,-1$$

那么序列 $a$ 中所有合法子区间的左端点共有 $5$ 个，为下面括号的位置

$$(-1),(1),(1),-1,(-1),(1),-1,-1$$

解答

对于某个序列 $a$，记 $S(a)$ 表示序列中所有合法子区间的左端点的数量。

如果 $a$ 存在一个 $-1$ 在一个 $1$ 的后面，即存在下标 $i,j$ 满足 $i<j$ 且 $a_i=1,a_j=-1$，那么交换 $i,j$ 位置上的值后，得到一个新序列 $a^{\prime }$，显然 $a^{\prime }$ 中 $1$ 的数量也为 $c$。

引理 进行上述变换后所有合法子区间的左端点的数量不降，即 $S(a)\le S(a^{\prime })$ 一定成立。

假设上述引理成立，那么我们就只需要论证由 $n-c$ 个 $-1$ 开头，然后 $c$ 个 $1$ 组成的序列 $a_0$ 满足 $S(a_0)\le 2c$，这是显然的。而对于任何其他序列，它们都可以通过有限次上述变换得到序列 $a_0$。

下面我们证明该引理成立，考虑序列 $a$ 的前缀和序列 $p$，

$$p_k=\sum _{i=1}^k{a}_i$$

那么左开右闭区间 $(l..r]$ 合法等价于 $p_r-p_l\ge 0$。设我们要交换序列 $a$ 中的 $i,j$ 位置，由于 $a_i=1$，所以 $p_{i-1}=p_i-1$ 。若某个位置 $k<i$ 本来某个合法区间的左端点，而交换 $i,j$ 位置上的值后它就不是了，那么一定有 $p_k=p_i$。

那么找出 $i$ 前面第一个 $p_k=p_i$ 的位置（如果有）后，$k$ 以前的左端点都不会改变，因为 $p_k=p_i$ 说明 $i,k$ 位置是等价的。这说明 $S(a)\le S(a^{\prime })$。

2022年12月08日 于东莞松山湖