算术入门1-实数

建议不要读这篇文章，这只是一个对胡言乱语的归档

格式约定：

这是正文。

这是引用，导言或注释

斜体只是调侃，没有实际意义

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数

从远古时代人们就发明了“数”的概念，主要用于计数。

什么是“数”？为什么 $1+1=2$？这是如何定义出来的？

简单来说，数是一种算术对象。确定的运算的对象构成的集合称为数集，数集中的元素称为数(numbers)。

我们可以用字母来表示一个数（已知的或未知的、变量或常量），例如

$$a,b,x,y,z$$

都可以是数。

加法

加法是定义的产物。一加一之所以等于二，不是因为一个苹果和一个苹果得到两个苹果，而是因为定义如此。

数学就像一种宗教，而非科学。你输入两个数，把它们相加，然后你就得到了一个全新的数，这就像魔法——你要么全信，要么全不信。

加法是一种二元运算(binary operator)，也就是说加法运算接受两个数作为输入(input)，得到一个数作为输出(outout)。书写上，我们在输入的两个数之间用加号(plus notation)连接。因此抽象的加法就是

$$a+b=c$$

加法单位元

$0$ 是如何定义的？

进行加法运算时，我们注意到有一类数 $x$，使得

$$a+x=a$$

即（通俗的说）这个数加别的数等于那个数。我们把这样的 $x$ 称为加法单位元，记作 $0$。

由此我们定义了 $0$，数轴的原点被确定了。

搞这么复杂，你是法国小学生吗？学这些对搬砖有什么价值？

乘法

乘法拥有巧妙的组合意义，比如 $3$ 乘 $5$ 是 $5$ 个 $3$ 相加。这也是我们小学定义乘法的唯一目的。

但组合意义是乘法的本质吗？如果不是，又该如何定义乘法？

乘法是一种二元运算，接受两个数作为输入，得到一个数作为输出。书写上，我们在输入的两个数之间用空格（空格在不产生歧义的情况下可以省略）连接。因此抽象的乘法就是

$$ab=c$$

使用何种乘号？

一般而言，乘法的书写有三种：$a\times b$，$a\cdot b$ 和 $ab$。

在表达两个数（标量）相乘时，我建议使用第三种，因为叉乘记号(cross product notation，$\times$)和点乘记号(dot probduct notation，$\cdot$)，在向量运算时已经有明确的（不同的）含义了。

因此以后我们统一使用空格作为标量乘法的记号，例如三乘以五记作 $35=15$，手写时可以使用 $3(5)=15$。

乘法单位元

什么是 $1$？什么是 $2$？自然数是如何被定义的？

进行乘法运算时，我们注意到有一类数 $x$，使得

$$ax=a$$

即（通俗的说）这个数乘别的数等于那个数。我们把这样的 $x$ 称为乘法单位元，记作 $1$。

由此我们定义了 $1$，数轴的原点被确定了。

所以搞了半天你连 $1,2,3,\cdots$ 这些最基本的算术单元都没有说吗？

自然数

我们费尽心机终于定义了两个数（$0,1$），可是还有无穷无尽的数没有定义呢！

自然数集（记作 $\mathbb{N}$）是由皮诺亚公理定义的集合，这一般是算术学家（你说的这个算术学家，是指小学生吗？）接触的第一个数集。

皮诺亚公理（简化版）

1. $0$ 是一个自然数。
2. 如果 $a$ 是一个自然数，则 $a+1$ 也是一个自然数，称之为 $a$ 的后继数。即 ${\mathrm{\forall }}_{a\in \mathbb{N}}a+1\in \mathbb{N}$
3. $0$ 不是任何数的后继数。即 ${\mathrm{\forall }}_{a\in \mathbb{N}}a+1\ne 0$
4. 不同的自然数有不同的后继数。即 ${\mathrm{\forall }}_{a\in \mathbb{N}}a+1\ne a$
5. 自然数集只包括上述四条所述的数。形式化的说，设 $S$ 是 $\mathbb{N}$ 的子集，满足上述四条的性质（将自然数替换为 $S$ 中的元素），则 $S=\mathbb{N}$。

记号 $\mathrm{\forall }$

$\mathrm{\forall }$ 形象是一个倒过来的 A，取自英文单词 any，表示对于任意一个。例如

$${\mathrm{\forall }}_{a\le 10}a\le 5$$

表示对于每个小于等于 $10$ 的数 $a$，都有 $a$ 小于等于 $5$。

$\mathrm{\forall }$ 的 $LATEX$ 代码为 \forall

值得一提的是，我们给每个自然数设计有记号，$2=1+1,3=2+1,4=3+1,\cdots$。

戴德金-皮亚诺结构

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：

1. $X$ 是一集合，$x$ 为 $X$ 中一元素，$f$ 是 $X$ 到自身的映射；
2. $x$ 不在 $f$ 的像集内；
3. $f$ 为一单射。
4. 若 $A$ 为 $X$ 的子集并满足 $x$ 属于 $A$，且若 $a$ 属于 $A$，则 $f(a)$ 亦属于 $A$，则 $A=X$。

加法结合律

小学时好像是先学交换律才学结合律的呀？但是交换律的证明需要先证明结合律……

定理1.1 自然数加法满足结合律，即 ${\mathrm{\forall }}_{a,b,c\in \mathbb{N}}(a+b)+c=a+(b+c)$

证明:

1. 当 $a=0$ 时，$(0+b)+c=b+c=0+(b+c)$
2. 假如 $a=k$ 时原定理成立，则对于 $a=k+1$，有
   $$\begin{array}{rl}a+b+c& =(k+1+b)+c\\ & =((k+b)+1)+c\\ & =((k+b)+c)+1\\ & =(k+(b+c))+1\\ & =k+1+(b+c)\\ & =a+(b+c)\end{array}$$
   当 $x=k+1$ 时原定理成立。

由上述两条可推理出，原定理恒成立。$◼$

加法交换律

定理1.2 自然数加法满足交换律，即 ${\mathrm{\forall }}_{a,b\in \mathbb{N}}a+b=b+a$

在证明之前，我们需要先证明两个引理：

引理1.3 ${\mathrm{\forall }}_{x\in \mathbb{N}}0+x=x$

证明：

1. 当 $x=0$ 时，$0+x=0+0=0$
2. 假如当 $x=k$ 时原引理成立，则当 $x=k+1$ 时，$0+x=0+k+1=(0+k)+1=k+1=x$，即当 $x=k+1$ 时原引理成立。

由上述两条可推理出，原引理恒成立。$◼$

引理1.4 ${\mathrm{\forall }}_{x\in \mathbb{N}}1+x=x+1$

证明：

1. 当 $x=0$ 时，$1+0=1=0+1$
2. 假如当 $x=k$ 时原引理成立，则当 $x=k+1$ 时，$1+k+1=(1+k)+1=(k+1)+1$，即当 $x=k+1$ 时原引理成立。

由上述两条可推理出，原引理恒成立。$◼$

证明定理1.2：

1. 当 $a=0$ 时，$0+b=b=b+0$
2. 假如当 $a=k$ 时原引理成立，则当 $a=k+1$ 时，$a+b=k+1+b=k+b+1=b+k+1$，即当 $x=k+1$ 时原引理成立。

由上述两条可推理出，原定理恒成立。$◼$

通项归纳法

让我们想想多米诺骨牌排成一行，那么我们只要把任意一张排推到，那么在这张牌之后的每一张派都会被因连锁反应而被前一张牌推到。即使在此之后的有无穷张多米诺骨牌，它们也终会全部倒下。这使我们战胜了无限。

这种方法在数学上被称为通项归纳法(mathematical induction)，上面的几个证明都使用了这个方法。

让我们再举一个例子，令

$$S_n=0^2+1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2$$

求证：

$$S_n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

证明：

1. 第一步：
   $$S_0=0^2=0=\frac{0(0+1)(20+1)}{6}$$
   即，当 $n=0$ 时，等式成立。
2. 第二步：我们现在假设当 $n=k$ 的时候原等式成立。
   即现在证明当 $n=k+1$ 时成立。具体而言，是这样做的：
   $$\begin{array}{rl}{S}_{k+1}& =S_k+(k+1{)}^2\\ & =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k^2+2k+1)\\ & =\frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}\\ & =\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}\end{array}$$
   由此得证，若 $n=k$ 时等式成立，则当 $n=k+1$ 时等式成立。
   而当 $n=0$ 时等式成立，则对于 ${\mathrm{\forall }}_{n\ge 0}$，原等式成立。$◼$

这里的“第一张多米诺骨牌”正是"$n=0$ 时成立"，而第二步的证明中则把“牌”排了起来。于是无限的“牌”全部倒了。通项归纳法可以说是数学证明中的“万金油”。

整数

自然数集是不完整的，在群论中被称为“半群”，而整数集则是完整的。

加法逆元

减法来自何方？

进行加法运算时，我们关于数 $a$ 定义一个数 $x$，使得

$$a+x=0$$

则称 $x$ 为 $a$ 的加法逆元，记作 $-a$。由此我们得到

$$a+(-a)=0$$

根据加法单位元的性质，加上一个数的加法逆元，相当于消除了加这个数的影响。

例1.5 已知 $2+x=6$，求 $x$。

解：
$\because 2$ 的加法单位元为 $-2$

$\therefore x=6+(-2)$$\mathtt{\text{w5}}$

$\mathtt{\text{w5}}$ 和 $◼$ 记号

$\mathtt{\text{w5}}$ 是 which was what we wanted 的缩写，表示回答完毕，解答过程的结束。

$◼$ 表示证毕，只用于证明过程的结束。表示证毕的常用记号还有 $\mathtt{\text{Q.E.D}}$。

由此，代数的说，若 $a+x=b$，则 $x=b+(-a)$。

减法

减法，只是加上加法逆元的简写。

由于 $a+(-b)$ 很常用，而且书写称呼都不方便，我们设计一种新的二元运算，称为减法，作为加加法逆元的简称，即

$$a-b=a+(-b)$$

负数

$3$ 的加法逆元是多少，是自然数集的元素吗？

整数集（记作 $\mathbb{Z}$）是自然数集的拓展，引入了负数的概念。简而言之：

1. 如果 $n$ 是自然数，则 $n$ 是整数。
2. 如果 $n$ 是自然数，则 $-n$ 是整数。
3. 整数集只包括上述满足两条性质的数。

即 ${\mathrm{\forall }}_{x\in \mathbb{N}}x,-x\in \mathbb{Z}$ 且 ${\mathrm{\forall }}_{x\in \mathbb{Z}}x\in \mathbb{N}\vee -x\in \mathbb{N}$。

逻辑记号：$\mathrm{\neg }\vee \wedge$

$\mathrm{\neg }$ 表示逻辑非，即 $\mathrm{\neg }a$ 为真当且仅当 $a$ 为假。

$\vee$ 表示逻辑或，即 $a\vee b$ 为真当且仅当 $a$ 为真或 $b$ 为真。

$\vee$ 表示逻辑且，即 $a\wedge b$ 为假当且仅当 $a$ 为假或 $b$ 为假。

比起自然数集，整数集多了负数(negative number)，这使得整数集比自然数集更加完整：整数集中的每个数的加法逆元都能在整数集中找到，而只有 $0$ 能在自然数集中找到加法逆元。

在整数集上，加法结合律和加法交换律任然成立（读者自证不难）。

有理数

在乘法意义下，整数集完整吗？

乘法逆元

怎么把 $7$ 颗糖分给 $3$ 个小朋友？

进行乘法运算时，我们关于数 $a$ 定义一个数 $x$，使得

$$a+x=1$$

则称 $x$ 为 $a$ 的乘法逆元（在不产生歧义的前提下可以简称为逆元），暂时记作 $\frac{1}{a}$。由此我们得到

$$a\frac{1}{a}=1$$

根据乘法单位元的性质，乘以一个数的乘法逆元，相当于消除乘以这个数的影响。

除法

你喜欢 $a/b$，$a÷b$，$a:b$，还是 $\frac{a}{b}$？

我喜欢第一个，因为它使用的 $LaTeX$ 记号最少，写起来最快。

既然减号是加号的一部分，除号也应该是乘号的一部分，不是吗？

由于 $a\frac{1}{b}$ 很常用，而且书写称呼都不方便，我们设计一种新的二元运算，称为除法，作为乘乘法逆元的简称，即

$$\frac{a}{b}=a\frac{1}{b}$$

分数

$3$ 的乘法逆元是多少？它是整数集的元素吗？

有理数集（记作 $\mathbb{Q}$）是整数集的拓展，对于任意两个整数 $a,b$，满足$\frac{a}{b}$ 是有理数。即 $\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}|a,b\in \mathbb{Z}\}$。

运算性质

在有理数域上，加法结合律和加法交换律任然成立（读者自证不难）。
并且，

定理1.6 有理数乘法满足结合律。即 ${\mathrm{\forall }}_{a,b,c\in \mathbb{Q}}(ab)c=a(bc)$

定理1.7 有理数乘法满足交换律。即 ${\mathrm{\forall }}_{a,b\in \mathbb{Q}}ab=ba$

定理1.8 有理数加法和乘法满足分配律。即 ${\mathrm{\forall }}_{a,b,c\in \mathbb{Q}}a(b+c)=ab+ac$

以上三条定理读者自证（好像有点难？），或视为加法和乘法定义的一部分即可。

根据分配率，我们注意到负数乘以负数得到一个正数。

数轴

数有怎样的几何直观体现？

画一条直线，在直线上选两个点，分别为 $0$ 和 $1$，并根据 $0,1$之间的位置关系标记出正方向，这就叫做数轴(number axis)。

真·通俗版定义

下面是一个数轴的例子：

加法变换

加法有怎样的几何（数轴）直观体现？

加法就是横向平移数轴，例如 $+3$ 就是将数轴左移 $3$ 个单位。

画图画的？有点没对齐！

乘法变换

乘法有怎样的几何（数轴）直观体现？

乘法就是缩放数轴，例如 $\times 3$ 就是将数轴缩小 $3$ 倍。

根据分配率，乘负数就是缩放并翻转数轴方向。

乘方

连加得乘，连乘得……

求 $n$ 个 $a$ 乘积的运算，叫做乘方(power)，记作 $a^n$。特别的，定义 $a^0=1$。例如，$3^4=81$。

容易注意到，乘方并没有交换律（$3^4=81,4^3=64$）。但是乘方拥有几条重要性质（不妨称为乘方的基本性质）：

1. ${\mathrm{\forall }}_{a,n,m}{a}^n{a}^m=a^{n+m}$
2. ${\mathrm{\forall }}_{a,n,m}\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
3. ${\mathrm{\forall }}_{a,n,m}(a^n{)}^m=a^{nm}$

非自然数乘方

上一节的定义并不完整（要求 $n$ 为自然数），我们拓展这个定义。使得新定义满足两条乘方的基本性质。

例如我们要计算 $4^{\frac{3}{2}}$，由性质 1 得到

$$4^{\frac{3}{2}}=4^1{4}^{\frac{1}{2}}=44^{\frac{1}{2}}$$

那么 $4^{\frac{1}{2}}$ 等于多少呢？不妨设 $x=4^{\frac{1}{2}}$，由性质 3 知道，

$$x^2=(4^{\frac{1}{2}}{)}^2=4$$

所以我们是想要知道，什么数 $x$ 满足 $x^2=4$，容易注意到 $2$ 和 $-2$ 都符合条件。我们定义当有两个数满足条件时，计算平方总是使用较大的那一个，即

$$4^{\frac{1}{2}}=2$$

所以 $4^{\frac{3}{2}}=44^{\frac{1}{2}}=42=8$

关于负数的乘方则可以这样运算：

$$\begin{array}{rl}{a}^{-b}& =a^{0-b}\\ & =\frac{a^0}{a^b}\\ & =\frac{1}{a^b}\end{array}$$

由此之后，我们把 $a$ 的乘法逆元记为 $a^{-1}$，这样的记号清晰且节省空间。

算术开根

$a^{\frac{1}{2}}=?$

由于 $a^{\frac{1}{b}}$ 很常用，而且书写称呼都不方便，我们设计一种新的运算，称为算术开根，作为乘方乘法逆元的简称，即

$${}^b\sqrt{a}=a^{\frac{1}{b}}$$

算术开根 ${}^b\sqrt{a}$的意义就是求一个数 $x$ 满足 $x^b=a$。当 $b=2$ 时，可以省略 $b$，即 $\sqrt{a}{=}^2\sqrt{a}$。特别的，此时的运算叫做算术平方根(squre root)。

对数运算

$10000$ 乘 $10000000$ 等于多少？你会列竖式计算吗？

不，前者有 $4$ 个 $0$，后者有 $7$ 个 $0$，所以结果有 $4+7=12$ 个 $0$，即 $1000000000000$。

为什么能这样计算？

对数运算是乘方运算的一种逆运算，具体而言就是求解一个数 $x$ 满足

$$a^x=b$$

记

$$x={\log }_{a}b$$

其中 $\log$ 就是对数记号。

1. 当 $a=2$ 时，$a$ 可以省略，即 $\log b={\log }_{2}b$。
2. 我们称 $a=10$ 的对数叫做常用对数(common logarithm)，并记为 $\lg b$

对数拥有一些基本的性质：

定理1.9 ${\mathrm{\forall }}_{a,b,c}{\log }_{a}bc={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$。

证明：
$a^{{\log }_{a}bc}=bc=a^{{\log }_{a}b}{a}^{{\log }_{a}c}◼$

推论1.10 ${\mathrm{\forall }}_{a,b,c}{\log }_a{b}^n=n{\log }_{a}b$。（读者自证不难）

推论1.11 ${\mathrm{\forall }}_{a,b,c}{\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$。（读者自证不难）

定理1.12 （换底公式）${\mathrm{\forall }}_{a,b,c}{\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$。

证明：

令 $x={\log }_{a}b$，则 $a^x=b$，注意到

$$c^{x{\log }_{c}a}=(c^{{\log }_{c}a}{)}^x=a^x=b$$

两边取对数得

$$x{\log }_{c}a={\log }_{c}b$$

代入 $x$ 并移项得

$${\log }_{a}b{\log }_{a}b={\log }_{c}b$$

即 ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}◼$

无理数

问题还是出在乘法上……

什么数乘以它自己等于 $2$？或者说，$\sqrt{2}=?$，答案是有理数集的元素吗？

我们知道，有理数总是有限小数或无限循环小数。

无理数(irrational number)则是无限不循环小数，一般包括代数数(algebraic number)和超越数(transcendental number)，我们将在之后（第四章）继续讨论这两种数的区别。

连分式

我们注意到，一些乘方算式的结果，不总是有理数，或者说，不总能用一个分数表示。

考虑把任意有理数写成连续的分数嵌套形式，使得分子始终是 $1$。例如

$$\frac{7}{5}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}$$

$$\frac{19}{8}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$$

称为连分式。

任何有理数都可以写成有限项的连分式，但是无理数不能，例如

$$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots }}}}$$

实数

作为一个总称，它完整了吗？

有理数和无理数，总称为实数(real number)（记作 $\mathbb{R}$）。

实数运算律

上文提及的加法结合律、加法交换律、乘法结合律、乘法交换律、加法乘法分配率、乘方基本性质、对数基本性质在实数集上均成立。

实数集的完整性

封闭性：
实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

有序性：
实数集是有序的，即任意两个实数 $a,b$ 必定满足并且只满足下列三个关系之一： $a<b,a=n,a>b$。（我们将在以后详细讨论数学关系）

阿基米德性质：实数具有阿基米德性质(Archimedean property)，即 ${\mathrm{\forall }}_{a,b\in \mathbb{R},a>0}{\mathrm{\exists }}_{n\in \mathbb{N}}an>b$

记号 $\mathrm{\exists }$

$\mathrm{\exists }$ 形象是一个倒过来的 E，取自英文单词 exists，表示至少存在一个。例如

$${\mathrm{\exists }}_{a\le 10}a>0$$

表示至少存在一个小于等于 $10$ 的数 $a$，满足 $a$ 大于 $0$。

稠密性：实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既可以是有理数，也可以是无理数。

习题

1. 在课本上，加法逆元和乘法逆元的名称叫什么？
2. $0$ 可以有乘法逆元吗？有人认为可以定义 $0$ 的乘法逆元为 $\mathrm{\infty }$，即定义 $\frac{1}{0}=\mathrm{\infty }$，这样可行吗？
3. 整数集比自然数集大吗？有理数集比整数集大吗？实数集比有理数集大吗？
4. 如何使 $0^0$ 有意义？
5. 在所有无理数中，最无理的数(the most irrational number)是什么？（你需要自己定义什么叫更无理）
6. 实数集完整了吗？
7. 一个实数总可以被表示成根式（嵌套）的形式吗？
8. 一个实数总可以被表示成一个系数都是整数的多项式的根的形式吗？