09 2022 档案

摘要：现在我们来用真正的、关于实数序列的极限来代替形式极限，这将是我们构造实数系的最后一步。阅读全文

posted @ 2022-09-04 09:16 方而静阅读(363) 评论(0) 推荐(0) 编辑

实数

摘要：回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系

N

、整数系

Z

和有理数系

Q

。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代有理数系。实数无法用有理数来表示，但是却明确地处于有理数之间的某个 “空隙” 中：例如

\sqrt{2}

，你任意说一个有理数

q

，我都能说

q

比

\sqrt{2}

大还是小，我只需比较

q^{2}

和

2

的大小关系。实数没有明显的规律，我们不能仅通过引入

\sqrt[p]{q}

之类的符号就能构造所有的实数（我们也不能通过 “方程的根” 来定义实数，因为超越数如

π

等的存在）。种种限制下，柯西找到了从有理数定义实数的一个好方法：“取无限有理数序列的极限”。这就好像我们用二分法或者牛顿迭代法确定

\sqrt{2}

，无限地进行下去，我们就能用有理数无限地逼近它，虽然不会达到它。阅读全文

posted @ 2022-09-04 06:59 方而静阅读(480) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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