实数

回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 $\mathbb{N}$、整数系 $\mathbb{Z}$ 和有理数系 $\mathbb{Q}$。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代有理数系。

实数无法用有理数来表示，但是却明确地处于有理数之间的某个 “空隙” 中：例如 $\sqrt{2}$，你任意说一个有理数 $q$，我都能说 $q$ 比 $\sqrt{2}$ 大还是小，我只需比较 $q^2$ 和 $2$ 的大小关系。实数没有明显的规律，我们不能仅通过引入 $\sqrt[p]{q}$ 之类的符号就能构造所有的实数（我们也不能通过 “方程的根” 来定义实数，因为超越数如 $\pi$ 等的存在）。种种限制下，柯西找到了从有理数定义实数的一个好方法：“取无限有理数序列的极限”。这就好像我们用二分法或者牛顿迭代法确定 $\sqrt{2}$，无限地进行下去，我们就能用有理数无限地逼近它，虽然不会达到它。

这种 “取有理数序列的极限” 的运算，就像形式减法一样，不仅能在有理数上进行，在实数域上进行也是封闭的，所以下面的一些定义都会加上 ”形式“。而对于 “取无限实数序列的极限”，我们将在第 6 章再继续详谈。

我们接下来将详细阐述这种方法。我们先理解 “极限” 是什么：序列可能并不会达到目标（比如有理数序列最后怎么样也不可能达到 $\sqrt{2}$），但如果序列的趋势是不断接近那个目标的，那么我们就说序列的极限就是那个目标。或者说，如果存在序列的这种不断接近目标的趋势，我们就把那个目标看成序列的极限。

我们再来理解怎么对 “趋势” 进行描述：一般来说，我们会设置一个阈值（范围）$B$，然后看序列是否存在一个后缀，使得这个后缀和目标的差距在 $B$ 之内。然后我们说，如果对于任意小但是不为零的 $B$（这里 $B$ 等于零只是代表该后缀和目标完全相同），都能找到这么一个后缀，那么该序列的趋势就是不断接近于目标的。

作为例子，我么可以定义 “趋于一致”：我们给序列赋予一个振荡度，可以暂时理解为序列的最大值和最小值的差。那么如果该序列的振荡度是趋向于 $0$ 的，我们就说该序列的极限是所有数都相等的，即 “趋于一致” 的。

我们也可以定义 “收敛到 $L$”：我们给序列赋予一个差距值，可以暂时理解为序列中所有数与 $L$ 的差值的最大值。那么如果该序列的差距值是趋向于 $0$ 的，我们就说该序列的极限是所有数都等于 $L$，即 “收敛到 $L$”。

从上述两个定义中关于序列的 “极限” 的定义可以直观地看出，一个序列是 “趋于一致” 的当且仅当该序列 “收敛到某数 $L$”。这在第 6 章中有具体的体现，即柯西序列的定义和收敛序列的定义是等价的。

上述的理解 “极限” 的想法在第 5 章和第 6 章的很多定义上都适用。

除此之外，我还非常建议你把序列理解成二维的，即把 $(n,a_n)$ 都标在平面上。这样 “趋于一致”、“收敛到 $L$” 和 “极限” 等名词都会更加形象，而且十分有助于你想本文中命题的证明。

由于定义实数需要较长的篇幅，我们将给出第 5 章和第 6 章的总体的概览：

在本章（第 5 章）中，我们将先定义形式柯西序列（因为历史遗留问题，真正的章节中没有加上 “形式” 二字），即 “趋于稳定” 的有理数序列，并定义形式柯西序列的形式极限就是实数（注意不能定义说 “收敛到某实数 $L$” 的有理数序列的极限就是实数，这将导致循环定义）。然后显然收敛到同一个实数的形式柯西序列不可能只有一个，所以我们还需定义序列的形式等价。同时，为了建起有理数和实数间的桥梁，我们还需把有理数通过预期的方式相容于实数中。

接着，我们将按照预期的结果，在形式柯西序列上定义实数的加法、乘法、负运算、减法、倒数、除法、正负性和序等。过程中，我们也需证明有理数的这些运算也能相容于实数中。

第 5 章的最后，我们将投入实数最基本的应用中——构造出实数的有理数次幂（如 $\sqrt{2}$），这将用到实数的界和确界的概念以及确界原理。确界原理这体现了无限逼近这一思想方法的优点。

在第 6 章中，我们将会把取极限应用于实数序列上。这时我们才定义真正的柯西序列、序列等价和极限，而非形式的。我们会证明把极限应用于实数序列上也是正确且封闭的，即任意实数版的柯西序列也收敛，且收敛到实数上。接着，我们会完善极限这一定义在实数上的新运算，补充一些极限算律。

接下来，我们将介绍极限点（更广义的 “极限”）、上下极限和子序列。它们一方面是 “极限” 该概念的扩展和延伸，一方面是计算极限的有力工具：它们将导出许多很有用的结论。

最后，我们将构造出实数的实数次幂，以最终结束实数的构造和基本应用的补全。

5.1 柯西序列

实数的构造将依赖于柯西序列的概念。而在定义柯西序列之前，我们先来做一些铺垫。

• 定义 5.1.1（序列）：设 $m$ 是整数。一个有理数的无限序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是一个从 $\{n\in \mathbb{Z}:n⩾m\}$ 到 $\mathbb{Q}$ 的映射，其中 $n$ 映射到 $a_n$。

  而有限序列的概念我们也类似地在 3.5.3 中定义过了。

本章中，除特殊标明，我们所说的 “序列” 一般指的都是 “有理数序列”。

• 定义 5.1.2（$\epsilon$ 稳定性）：设有理数 $\epsilon >0$，称一个序列 $(a_n{)}_{n=N}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $\epsilon$ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k⩾N$，$d(a_j,a_k)⩽\epsilon$。
• 定义 5.1.3（终极 $\epsilon$ 稳定性）：设有理数 $\epsilon >0$，称一个序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是终极 $\epsilon$ 稳定的，当且仅当存在 $N⩾m$，使得序列 $(a_n{)}_{n=N}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $\epsilon$ 稳定的。

接下来，让我们定义柯西序列。

• 定义 5.1.4（柯西序列）：称一个序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意有理数 $\epsilon >0$，该序列都是终极 $\epsilon$ 稳定的。

  更直接地，序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意有理数 $\epsilon >0$，存在 $N⩾m$ 使得对于任意 $j,k⩾N$ 有 $d(a_j,a_k)⩽\epsilon$。

可以注意到，柯西序列可以直接定义，但定义 5.1.2 和 5.1.3 的目的是为了帮助你更好地理解柯西序列的内涵。

我们给出一个例子：

• 命题 5.1.5：由 $a_n:=1/n$ 定义的序列 $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是柯西序列。

  证明：设 $\epsilon >0$ 是任意正有理数，那么我们要找到 $N⩾1$，使得对于任意 $j,k⩾N$，$|1/j-1/k|⩽\epsilon$。

  注意到 $0<1/j,1/k⩽1/N$，那么 $|1/j-1/k|<1/N$，故只需要 $1/N⩽\epsilon$ 即 $N⩾1/\epsilon$ 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。

我们现在建立另一个基本概念：有界序列。序列有界是非常好的性质，往后的许多证明都将用到。

• 定义 5.1.6（有界序列）：设有理数 $M⩾0$。一个有限序列 $(a_n{)}_{n=m}^N$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $m⩽n⩽N$ 有 $|a_n|⩽M$。一个无限序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $n⩾m$ 有 $|a_n|⩽M$。

  称一个序列是有界的，当且仅当存在有理数 $M⩾0$ 使得该序列是以 $M$ 为界的。

• 引理 5.1.7（有限序列是有界的）：任何有限（有理数）序列 $(a_n{)}_{n=m}^N$ 都是有界的。

  证明：固定 $m$ 而对 $N$ 归纳。

• 引理 5.1.8（柯西序列是有界的）：任意柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 都是有界的。

  证明：任取有理数 $\epsilon >0$，那么存在一个自然数 $N⩾m$，使得序列 $(a_n{)}_{n=N}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $\epsilon$ 稳定的。

  考虑有限序列 $(a_n{)}_{n=m}^N$，根据引理 5.1.7 可知它是有界的，不妨设它是以 $M$ 为界的。

  对于任意 $n⩾N$，由于 $|a_N|⩽M$，$|a_n-a_N|⩽\epsilon$，那么 $|a_n|⩽M+\epsilon$。

  于是可以证明，原序列是以 $M+\epsilon$ 为界的，那么原序列是有界的。

注意有界序列不一定是柯西序列，例如 $a_n:=(-1{)}^n$。

5.2 等价的柯西序列

我们的想法是要把实数定义为柯西序列的 “极限”，那么我们就必须先定义何时两个柯西序列给出同样的 “极限”。

• 定义 5.2.1（$\epsilon$ 接近序列）：设有理数 $\epsilon >0$，设 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是两个序列，称序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $\epsilon \stackrel{―}{}$ 接近于序列 $(b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 的，当且仅当对于任意 $n⩾m$，$d(a_n,b_n)⩽\epsilon$。

• 定义 5.2.2（终极 $\epsilon$ 接近序列）：设有理数 $\epsilon >0$，设 $(a_n{)}_{n=m_a}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=m_b}^{\mathrm{\infty }}$ 是两个序列，并记 $m=max(m_a,m_b)$。称序列 $(a_n{)}_{n=m_a}^{\mathrm{\infty }}$ 是终极 $\epsilon \stackrel{―}{}$ 接近于序列 $(b_n{)}_{n=m_b}^{\mathrm{\infty }}$ 的，当且仅当存在 $N⩾m$，使得 $(a_n{)}_{n=N}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $\epsilon$ 接近于 $(b_n{)}_{n=N}^{\mathrm{\infty }}$ 的。

根据定义，若 $(a_n{)}_{n=m_a}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=m_b}^{\mathrm{\infty }}$ 是终极 $\epsilon$ 接近的，那么对于任意 $N^{\prime }⩾m$，都存在 $N⩾N^{\prime }$ 使得 $(a_n{)}_{n=N}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=N}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $\epsilon$ 接近的。

• 定义 5.2.3（等价的序列）：称两个序列 $(a_n{)}_{n=m_a}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=m_b}^{\mathrm{\infty }}$ 是等价的（记作 $(a_n{)}_{n=m_a}^{\mathrm{\infty }}\sim (b_n{)}_{n=m_b}^{\mathrm{\infty }}$），当且仅当对于任意有理数 $\epsilon >0$，它们都是终极 $\epsilon$ 接近的。

  更直接地，序列 $(a_n{)}_{n=m_a}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=m_b}^{\mathrm{\infty }}$ 是等价的（记 $m=max(m_a,m_b)$），当且仅当对于任意有理数 $\epsilon >0$，存在 $N⩾m$ 使得对于任意 $n⩾N$ 有 $d(a_n,b_n)⩽\epsilon$。

同样地，定义 5.2.1 和 5.2.2 也是为帮助你更好地理解序列等价的内涵所用。

• 命题 5.2.4（序列等价的基本性质）：序列等价满足自反性、对称性、传递性。

  证明：前两者易证，只证传递性。设序列 $(a_n{)}_{n=m_a}^{\mathrm{\infty }},(b_n{)}_{n=m_b}^{\mathrm{\infty }},(c_n{)}_{n=m_c}^{\mathrm{\infty }}$，其中 $(a_n{)}_{n=m_a}^{\mathrm{\infty }}\sim (b_n{)}_{n=m_b}^{\mathrm{\infty }}$ 且 $(b_n{)}_{n=m_b}^{\mathrm{\infty }}\sim (c_n{)}_{n=m_c}^{\mathrm{\infty }}$。设 $m=max\{m_a,m_b,m_c\}$。

  设 $\epsilon >0$ 是任意正有理数，那么找到一个 $N⩾m$ 使得 $(a_n{)}_{n=N}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(c_n{)}_{n=N}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $\epsilon \stackrel{―}{}$ 接近的即可。

  根据假设，存在 $N_1⩾m$ 使得 $(a_n{)}_{n=N_1}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=N_1}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $\frac{\epsilon }{2}\stackrel{―}{}$ 接近的，存在 $N_2⩾m$ 使得 $(b_n{)}_{n=N_2}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(c_n{)}_{n=N_2}^{\mathrm{\infty }}$ 也是 $\frac{\epsilon }{2}\stackrel{―}{}$ 接近的。那么取 $N=max(N_1,N_2)$ 即可。

• 引理 5.2.5：设序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$，那么对于任意 $m^{\prime }⩾m$，$(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}\sim (a_n{)}_{n=m^{\prime }}^{\mathrm{\infty }}$。

我们给出一个例子：

• 命题 5.2.6：由 $a_n:=1+{10}^{-n}$ 和 $b_n:=1-{10}^{-n}$ 定义的序列 $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是等价的。

  证明：设 $\epsilon >0$ 是任意正有理数，那么我们要找到 $N⩾1$，使得对于任意 $n⩾N$，$|a_n-b_n|⩽\epsilon$。

  注意到 $|a_n-b_n|=2\times {10}^{-n}⩽2\times {10}^{-N}$，故只需要 $2\times {10}^{-N}⩽\epsilon$。我们还不曾定义对数，但我们可以找一个更宽松的合法解：可以用归纳证明对于任意正数 $N$ 有 ${10}^N⩾N$ 即 ${10}^{-N}⩽1/N$，于是我们只需 $2/N⩽\epsilon$ 即 $N⩾\frac{2}{\epsilon }$ 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 $N$。

5.3 实数的构造

现在我们引入形式极限，然后用柯西序列的形式极限定义实数。

• 定义 5.3.1（实数）：对于任意柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$，都存在一个实数 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$，称为 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 的形式极限。

  定义两个实数 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$ 和 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$ 是相等的，当且仅当 $(a_n{)}_{n=m_a}^{\mathrm{\infty }}\sim (b_n{)}_{n=m_b}^{\mathrm{\infty }}$。

  注意到，符号 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$ 并未关注 $m$，这是因为根据引理 5.2.5，无论 $m$ 是多少，${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$ 总是相同的。那么不失一般性地，我们都认为 $a$ 序列的下标从某个整数 $m$ 开始。

  全体实数的集合记作 $\mathbb{R}$。

实数集的定义也不需要公理：先利用幂集公理得到所有有理数序列 $\bigcup _{m\in \mathbb{Z}}{\mathbb{Q}}^{\{n\in \mathbb{Z}:n⩾m\}}$，再通过分类公理得到所有柯西序列构成的集合，再像定义整数集那样，定义所有柯西序列定价类（一个实数是一个柯西序列等价类）构成的集合，即为实数集。

根据序列等价的基本性质，我们知道实数相等也满足自反性、对称性和传递性。

依照预期的结果，我们来定义实数的运算：

• 定义 5.3.2（实数的加法）：设实数 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$，$y={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$，定义它们的和为 $x+y:={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}(a_n+b_n)$。

  证明：类似命题 5.2.4 的证明（将 $|(a_i+b_i)-(a_j+b_j)|$ 拆成 $|a_i-a_j|+|b_i-b_j|$），可以证明序列 $(a_n+b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 也是柯西序列，故该定义是合法的。

• 命题 5.3.3（实数关于加法遵从代入公理）：设实数 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$，$x^{\prime }={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n^{\prime }$，$y={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$，且 $x=x^{\prime }$，那么 $x+y=x^{\prime }+y$。

  证明：设 $\epsilon >0$ 是任意正有理数。根据假设，存在 $N⩾m$ 使得对于任意 $n⩾N$ 有 $d(a_n,a_n^{\prime })⩽\epsilon$，那么也有 $d(a_n+b_n,a_n^{\prime }+b_n)⩽\epsilon$，证毕。

• 定义 5.3.4（实数的乘法）：设实数 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$，$y={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$，定义它们的乘积为 $xy:={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}(a_n{b}_n)$。

  证明：根据引理 5.1.8，$(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 都是有界的，不妨设分别以有理数 $M_a>0,M_b>0$ 为界。那么对于任意的 $n⩾1$，$|a_n|⩽M_a,|b_n|⩽M_b$。

  设 $\epsilon >0$ 为任意正实数，我们要找到 $N⩾m$ 使得对于任意 $i,j⩾N$，$d(a_i{b}_i,a_j{b}_j)⩽\epsilon$。

  根据命题 4.5.2，存在有理数 ${\delta }_a$ 满足 $0<{\delta }_a<\frac{\epsilon }{M_b}$，可得此时 $\epsilon -{\delta }_a{M}_b>0$。

  根据命题 4.5.2，存在有理数 ${\delta }_b$ 满足 $0<{\delta }_b<\frac{\epsilon -{\delta }_a{M}_b}{M_a+{\delta }_a}$，可得此时 ${\delta }_a{M}_b+{\delta }_b{M}_a+{\delta }_a{\delta }_b<\epsilon$。

  根据假设， 存在 $N_a⩾m$ 使得对于任意 $i,j⩾N_a$，$d(a_i,a_j)⩽{\delta }_a$；存在 $N_b⩾m$ 使得对于任意 $i,j⩾N_b$，$d(b_i,b_j)⩽{\delta }_b$。

  取 $N=max(N_a,N_b)$，那么对于任意 $i,j⩾N$，根据命题 4.3.5.9，$d(a_i{b}_i,a_j{b}_j)⩽{\delta }_a|b_i|+{\delta }_b|a_i|+{\delta }_a{\delta }_b⩽{\delta }_a{M}_b+{\delta }_b{M}_a+{\delta }_a{\delta }_b<\epsilon$。故此 $N$ 合法。

• 命题 5.3.5（实数关于乘法遵从代入公理）：设实数 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$，$x^{\prime }={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n^{\prime }$，$y={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$，且 $x=x^{\prime }$，那么 $xy=x^{\prime }y$。

  证明：根据引理 5.1.8，$(b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是有界的，不妨设以 $M>0$ 为界。

  设 $\epsilon >0$ 为任意正实数。根据假设，存在 $N⩾m$ 使得对于任意 $n⩾N$，$d(a_n,a_n^{\prime })⩽\epsilon /M$，那么 $d(a_n{b}_n,a_n^{\prime }{b}_n)=d(a_n,a_n^{\prime })|b_n|⩽\epsilon$，证毕。

我们还需将有理数嵌入到实数集合中，方法是把有理数 $q$ 等同于实数 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}q$。容易验证，这个嵌入和我们之前定义的实数的相等、加法和乘法的概念是相容的（注意，这意味着，对于那些被我们等同于有理数的实数，它们已经满足命题 4.2.5 中所述的代数算律了）。

有理数嵌入实数之后，我们可以方便地补充更多的运算：

• 定义 5.3.6（实数的负运算）：定义实数的负运算为 $-x:=(-1)\times x$。
• 定义 5.3.7（实数的减法）：定义实数的减法为 $x-y:=x+(-y)$。

当然，利用柯西序列的变换来实现上述定义也是等价的，但不能自然地得到代入公理（而需要重新证明）。

现在让我们来定义倒数。类似地，一个直接的想法是定义 $({\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n{)}^{-1}:={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n^{-1}$。当然，我们还要保证 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n\ne 0$。

但这样定义还是会出现一些问题，如柯西序列 $⟨0,1,1,\cdots ⟩$ 的形式极限为 $1\ne 0$，但我们没法把该序列的第一个数 $0$ 倒过来。

为避免这类问题，我们引入一个新的概念。

• 定义 5.3.8（远离零的序列）：称一个序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是远离零的，当且仅当存在有理数 $c>0$，使得对于一切 $n⩾m$，$|a_n|⩾c$。

注意，这和 “对于一切 $n⩾m$，$|a_n|>0$” 不等价，如序列 $a_n:=\frac{1}{n}$ 就不是远离零的序列。注意，两序列等价并不蕴含两序列关于 “远离零” 相同，如序列 $⟨0,1,1,\cdots ⟩$ 和 $⟨1,1,\cdots ⟩$。

下面的引理说明，若实数 $x$ 不等于 $0$，那么它所对应的柯西序列等价类中，一定存在一个远离零的柯西序列。

• 引理 5.3.9：设 $x$ 是不为 $0$ 的实数，那么存在一个远离零的柯西序列 $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$，使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$。

  证明：根据定义，存在柯西序列 $(b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$。

  $x$ 不等于 $0={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}0$，意味着存在有理数 $\epsilon >0$，对于任意 $N⩾m$，都存在 $p⩾N$，使得 $|b_p|>\epsilon$。

  任取有理数 $0<\delta <\epsilon$，根据假设，存在 $N⩾m$，使得对于任意 $i,j⩾N$，$|b_i-b_j|⩽\delta$。再按照刚刚说的，存在 $p⩾N$，使得 $|b_p|>\epsilon$。

  由于 $|b_p|>\epsilon$，又由于对于任意 $i⩾p$ 有 $|b_i-b_p|⩽\delta$，那么对于任意 $i⩾p$，$|b_i|>\epsilon -\delta >0$。

  那么序列 $(b_n{)}_{n=p}^{\mathrm{\infty }}$ 是远离零的，证毕。

注意，若实数 $x$ 不等于 $0$，并不意味着 $x$ 对应的柯西序列等价类中，所有柯西序列都是远离零的。上面提到的序列 $(0,1,1,\cdots )$ 就是一个很好的例子。

现在可以定义倒数了：

• 定义 5.3.10（实数的乘法逆元）：设 $x$ 是不为 $0$ 的实数，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$，那么我们定义倒数为 $x^{-1}:={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n^{-1}$。

  证明：首先 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是远离零的，这蕴含了对于任意 $n⩾m$ 有 $a_n\ne 0$，那么存在序列 $(a_n^{-1}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$，让我们来证明该序列为柯西序列。

  根据假设，存在有理数 $c>0$，使得对于任意 $n⩾m$，$|a_n|⩾c$ 即 $|1/a_n|⩽1/c$。

  设 $\epsilon >0$ 是任意正有理数，根据假设，存在 $N⩾m$，使得对于任意 $i,j⩾N$，$|a_i-a_j|⩽\epsilon c^2$，那么 $|\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_j}|=\frac{|a_i-a_j|}{|a_i||a_j|}⩽\epsilon$。证毕。

• 命题 5.3.11（实数关于乘法逆元遵从代入公理）：设实数 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$，其中 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 都是远离零的柯西序列，那么 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n^{-1}={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n^{-1}$。

  证明：一种证明方法是类似 5.3.10 的证明（将 $|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}|$ 转化为 $\frac{|a_n-b_n|}{|a_n||b_n|}$）。

  另一种证明方法是：根据 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$，然后两边同乘 $\left({\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n^{-1}\right)\left({\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n^{-1}\right)$，得到 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n^{-1}={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n^{-1}$。相当于利用了实数关于乘法的代入公理。

• 定义 5.3.12（实数的除法）：定义两个实数 $x$ 和 $y\ne 0$ 的除法为：$x/y:=x{y}^{-1}$。

可以证明，有理数的乘法逆元和除法运算和实数的是相容的。

• 命题 5.3.13（实数的代数算律）：命题 4.2.5 中提及的关于有理数的代数算律对于实数也成立。

  证明：将实数表示成 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$ 的形式，然后不难证明。

我们现在关于实数已经有了全部四种基本的运算，它们满足全部常见的代数算律，下面我们转向实数的序的概念。

5.4 实数的次序

我们现在也想给实数定义正负。利用单个柯西序列中的元素来判断实数的正负性显然是不现实的（例如序列 $⟨1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\cdots ⟩$）。我们需要利用上一节中提到的远离零的定义。

• 定义 5.4.1：设序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$。称其是正远离零的，当且仅当存在有理数 $c>0$，使得对于一切 $n⩾m$，$a_n⩾c$。称其是负远离零的，当且仅当存在有理数 $c<0$，使得对于一切 $n⩾m$，$a_n⩽c$。

• 定义 5.4.2：称一个实数 $x$ 是正的，当且仅当存在正远离零的柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$。称一个实数 $x$ 是负的，当且仅当存在负远离零的柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$。

• 命题 5.4.3（实数的三歧性）：设 $x$ 是实数，那么三个命题 “$x=0$”、“$x$ 是正的” 和 “$x$ 是负的” 中恰有一个成立。

  证明：存在性：若 $x\ne 0$，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$。那么存在有理数 $c>0$，使得对于任意 $n⩾m$ 有 $|a_n|⩾c$。

  根据定义，存在 $N⩾m$，使得对于任意 $i,j⩾N$，$|a_i-a_j|<2c$，那么就不存在 $i,j⩾N$，使得 $a_i>0$ 和 $a_j<0$ 同时成立。所以要么 “对于任意 $n⩾N$，$a_n>0$，那么 $a_n⩾c$”，要么 “对于任意 $n⩾N$，$a_n<0$，那么 $a_n⩽-c$”。那么 $(a_n{)}_{n=N}^{\mathrm{\infty }}$ 要么是正远离零的，要么是负远离零的，证毕。

  唯一性：反证。若存在 “$x$ 是正的” 和 “$x$ 是负的” 同时成立，说明存在正远离零的柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 和负远离零的柯西序列 $(b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$。那么 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}\sim (b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$。

  根据定义，存在有理数 $c_a>0$ 使得对于任意 $n⩾m$，$a_n⩾c_a$；存在有理数 $c_b>0$ 使得对于任意 $n⩾m$，$b_n⩽-c_b$。根据定义，又存在 $N⩾m$ 使得对于任意 $i,j⩾N$，$|a_i-b_i|<c_a+c_b$，而 $|a_i-b_i|$ 显然大于等于 $c_a+c_b$，矛盾。

容易证明，有理数的正负性的概念和实数的是相容的。

有了正负性的定义和性质，我们又能重复一些有理数中出现过的定理和定义。

• 引理 5.4.4：设 $x,y$ 为实数，那么 $xy$ 为正的当且仅当 $x,y$ 同为正的或 $x,y$ 同为负的，$xy$ 为负的，当且即当 $x,y$ 一正一负。

• 定义 5.4.5（实数的序）：设 $x$ 和 $y$ 是实数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正实数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负实数。称 $x⩾y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x⩽y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x=y$。

• 命题 5.4.6（实数的序的基本性质）：命题 4.2.11 中提及的关于有理数的序的基本性质对于实数也成立。

• 定义 5.4.7（实数的绝对值）：根据实数的三歧性，定义实数 $x$ 的绝对值 $|x|$ 为：若 $x$ 是正的，那么 $|x|:=x$；若 $x$ 是负的，那么 $|x|:=-x$；若 $x$ 是 $0$，那么 $|x|:=0$。

• 定义 5.4.8（实数的距离）：定义两个实数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $d(x,y):=|x-y|$。

• 命题 5.4.9（绝对值及距离的基本性质）：命题 4.3.3 中提及的关于绝对值及距离的基本性质对于实数也成立。

容易证明，有理数的序和绝对值的概念和实数的是相容的。

在实数的序的基础上，我们补充一些有关实数的稠密性的性质。

• 命题 5.4.10（用有理数来界定实数）：设 $x$ 是一个正的实数，那么存在一个正有理数 $q$ 使得 $q<x$，同时存在一个正整数 $N$ 使得 $x<N$。

  证明：设柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$。

  由于 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是正远离零的，那么存在有理数 $c$ 使得对于任意 $n⩾m$，$a_n⩾c>0$。那么易证 $x>\frac{c}{2}$。

  由于 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是有界的，那么存在有理数 $M$ 使得对于任意 $n⩾m$，$a_n⩽M$。又根据命题 4.5.1，存在正整数 $N$ 使得 $M<N$，那么对于任意 $n⩾m$，$a_n⩽M<N$。

• 推论 5.4.11（阿基米德性质）：设 $x$ 和 $\epsilon$ 是任意正实数，那么存在正整数 $M$，使得 $M\epsilon >x$。

推论 5.4.11 描述的是，无论 $x$ 多么大，无论正数 $\epsilon$ 多么小，只要把 $\epsilon$ 自身不断累加，所得之和总会在有限次大于 $x$。

• 命题 5.4.12：设 $x$ 和 $y$ 是实数且 $x<y$，那么存在有理数 $z$ 满足 $x<z<y$。

  证明：设柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$，设柯西序列 $(b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$。

  由于 $x\ne y$，那么存在有理数 $\epsilon >0$，使得对于任意 $N⩾m$，都存在 $p⩾N$ 使得 $|a_p-b_p|>\epsilon$。根据命题 4.5.2，存在有理数 ${\delta }_a,{\delta }_b,z^{\prime }$ 使得 $0<{\delta }_a<z^{\prime }<\epsilon -{\delta }_b<\epsilon$。

  存在 $N_a⩾m$ 使得对于任意 $i,j⩾N_a$，$|a_i-a_j|⩽{\delta }_a$。存在 $N_b⩾m$ 使得对于任意 $i,j⩾N_b$，$|b_i-b_j|⩽{\delta }_b$。

  存在 $p⩾max(N_a,N_b)$ 使得 $|a_p-b_p|>\epsilon$。那么对于任意 $i⩾p$，$|a_i-a_p|⩽{\delta }_a$ 且 $|b_i-b_p|⩽{\delta }_b$。

  又由于 $x<y$，综合可知 $a_p+\epsilon <b_p$，且对于任意 $i⩾p$，有 $a_i⩽a_p+{\delta }_a<a_p+z^{\prime }<b_p-{\delta }_b⩽b_i$。

  取 $z=a_p+z^{\prime }$，即可证明 $x<z<y$。

注意，命题 5.4.12 蕴含了 “设 $x$ 和 $y$ 是实数且 $x<y$，那么存在实数 $z$ 满足 $x<z<y$”。

现在我们将柯西序列中元素的序和实数的序联系起来，给出一些性质，以便之后使用。

• 命题 5.4.13（非负实数集是闭的）：设 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 是一个非负有理数的柯西序列，那么 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$ 也是非负的。

  证明：反证易得。

但需要注意，正有理数序列的形式极限不必是正的，它可以是零。我们将在第 12 章中看到对此事实的一个更好的解释：因为正实数集是开的，而非负实数集是闭的。

• 推论 5.4.14：设柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 满足对于任意 $n⩾m$ 有 $a_n⩾b_n$，那么 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n⩾{\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$。

  证明：结合定义及命题 5.4.13 可知。

注意，因为正有理数序列的形式极限不必是正的，所以上述推论中的 $⩾$ 换成 $>$ 不一定成立。

而判定两个实数 $x,y$ 满足 $x<y$ 的正确方式应是：找到有理数 $c>0$ 以及柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 和 $(b_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 使得 $x={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$ 且 $y={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n$，并满足对于任意 $n⩾m$，$b_n-a_n⩾c$。

• 命题 5.4.15：设实数 $x$ 和柯西序列 $(a_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$ 满足对于任意 $n⩾m$ 有 $a_n⩽x$，那么 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n⩽x$。

  证明：考虑证明逆否命题：若 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n>x$，则存在 $n⩾m$ 使得 $a_n>x$。

  根据命题 5.4.12，存在有理数 $z$ 使得 $x<z<{\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$。若对于任意的 $n⩾m$ 都有 $a_n⩽z$，那么根据推论 5.4.14 可知 ${\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}⩽z$，故存在 $n⩾1$ 使得 $a_n>z>x$，证毕。

对称地，将命题 5.4.15 中的 $⩽$ 换成 $⩾$，同样成立。

5.5 界和确界

我们介绍两个关于实数的新概念——界和确界。

• 定义 5.5.1（上界）：设 $E\subseteq \mathbb{R}$，称实数 $M$ 是 $E$ 的一个上界，当且仅当对于任意 $x\in E$ 有 $x⩽M$。

我们可以注意到：有一些集合没有上界（如正实数集 ${\mathbb{R}}^{+}:=\{x\in \mathbb{R}:x>0\}$），任何数都是 $\varnothing$ 的上界。

• 定义 5.5.2（上确界）：设 $E\subseteq \mathbb{R}$，称实数 $M$ 是 $E$ 的上确界，当且仅当 $M$ 是 $E$ 的上界，且 $E$ 的任何上界 $M^{\prime }$ 都大于等于 $M$。

• 命题 5.5.3（确界原理）：设 $E\subseteq \mathbb{R}$ 是非空集合，若 $E$ 有上界，那么 $E$ 的上确界存在且唯一。

  证明：唯一性：反证。设 $E$ 有两个上确界 $M,M^{\prime }$，那么根据定义有 $M^{\prime }⩾M$ 且 $M⩾M^{\prime }$，即 $M=M^{\prime }$。

  存在性：$E$ 是非空集合，设 $x_0\in E$。$E$ 存在上界，设 $M$ 是 $E$ 的上界。那么 $x_0⩽M$。

  设整数 $n⩾1$，存在整数 $K$ 使得 $M⩽\frac{K}{n}$，存在整数 $L$ 使得 $\frac{L}{n}<x_0$，那么 $L<K$。

  存在唯一的整数 $m_n$ 满足 $L<m_n⩽K$ 使得 $\frac{m_n}{n}$ 是 $E$ 的上界而 $\frac{m_n-1}{n}$ 不是（固定 $L$ 而对 $K$ 归纳）。

  注意到，设整数 $N⩾1$，对于任意 $n,n^{\prime }\ge N$，由于 $\frac{m_n}{n}$ 是 $E$ 的上界而 $\frac{m_{n^{\prime }}-1}{n^{\prime }}$ 不是，那么有 $\frac{m_{n^{\prime }}-1}{n^{\prime }}<\frac{m_n}{n}$，即 $\frac{m_{n^{\prime }}}{n^{\prime }}-\frac{m_n}{n}<\frac{1}{n^{\prime }}⩽\frac{1}{N}$，同理 $\frac{m_{n^{\prime }}}{n^{\prime }}-\frac{m_n}{n}>-\frac{1}{n}⩾-\frac{1}{N}$，即 $|\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n^{\prime }}}{n^{\prime }}|⩽\frac{1}{N}$。

  那么可以证明 $(\frac{m_n}{n}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是一个柯西序列。令 $S={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}(m_n/n)$，我们欲证明 $S$ 就是 $E$ 的上确界。

  先证明 $S$ 是 $E$ 的上界：对于任意 $x\in E$，我们知道对于任意 $n⩾1$，$x⩽\frac{m_n}{n}$，那么根据命题 5.4.15 可知 $x⩽{\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}(m_n/n)$。

  再证明 $S$ 是 $E$ 的上确界：对于任意 $E$ 的上界 $y$，对于任意 $n⩾1$，由于 $\frac{m_n-1}{n}$ 不是 $E$ 的上界，那么 $\frac{m_n-1}{n}<y$，那么根据命题 5.4.15 可知 $y⩾{\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{m_n-1}{n}={\mathrm{LIM}}_{n\to \mathrm{\infty }}(m_n/n)=S$。

• 定义 5.5.4（sup）：设 $E\subseteq \mathbb{R}$。若 $E$ 非空且存在上界，那么定义 $supE$ 为 $E$ 的上确界；若 $E$ 非空且不存在上界，那么定义 $supE:=+\mathrm{\infty }$；若 $E$ 为空，那么定义 $supE:=-\mathrm{\infty }$。

在这里，$+\mathrm{\infty }$ 和 $-\mathrm{\infty }$ 都是没有意义的符号而非实数，没有关于它们的任何运算和性质。

我们举一个例子来说明定义上确界的作用：

• 命题 5.5.5：存在正实数 $x$ 使得 $x^2=2$。

  证明：设集合 $E:=\{y\in \mathbb{R}:y⩾0\wedge y^2<2\}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子集。显然 $E$ 存在上界。那么就存在上确界 $x:=supE$。我们来证明 $x^2=2$，即证不可能有 $x^2<2$ 或 $x^2>2$。

  首先，因为 $2$ 是 $E$ 的上界（若 $y>2$ 则 $y^2>4>2$），有 $x⩽2$。

  假设 $x^2<2$。考虑证明存在实数 $\epsilon >0$ 使得 $(x+\epsilon {)}^2<2$（那么 $x+\epsilon \in E$，从而 $x$ 不是 $E$ 的上界，矛盾），而 $(x+\epsilon {)}^2=x^2+2x\epsilon +{\epsilon }^2⩽x^2+5\epsilon$，那么只需令 $0<\epsilon <\frac{2-x^2}{5}$ 即可。

  假设 $x^2>2$，考虑证明存在实数 $\epsilon >0$ 使得 $(x-\epsilon {)}^2>2$（从而 $x-\epsilon$ 是 $E$ 的更小上界，矛盾），而 $(x-\epsilon {)}^2=x^2-2x\epsilon +{\epsilon }^2⩾x-3{\epsilon }^2$，那么只需令 $0<\epsilon <\frac{x^2-2}{3}$ 即可。

类似地，我们也可以定义下界、下确界以及 $infE$。根据对称性，容易证明 $supE=-inf(-E)$，其中 $-E:=\{-x:x\in E\}$。

5.6 实数的有理数次幂

类似有理数，我们可以类似地定义实数的整数次幂，以及得到相似的关于整数次幂的性质：

• 定义 5.6.1（自然数次幂的指数运算）：设 $x$ 是实数，首先定义 $x^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $x^n$，那么定义 $x^{n+1}:=x^n\times x$。

• 定义 5.6.2（负数次幂的指数运算）：设 $x$ 是一个非零的实数，那么对于任何负整数 $-n$，定义 $x^{-n}:=\frac{1}{x^n}$。

• 命题 5.6.3：命题 4.4.2、引理 4.4.4、引理 4.4.5 和命题 4.4.6 中提及的关于整数次幂的性质对于实数也成立。

  证明：审视上述命题的证明，发现它们依赖于有理数的代数算律和序的规则，而以前我们已经证明过了这些对于实数同样成立，故这些命题对于实数也成立。

可以看到，有理数的整数次幂的指数运算和实数的是相容的。

现在我们来定义实数的非整数次幂，先从 $n$ 次根的概念开始。

• 定义 5.6.4：对于实数 $x>0$ 和整数 $n⩾1$，定义 $x$ 的 $n$ 次根为实数 $x^{\frac{1}{n}}:=sup\{y\in \mathbb{R}:y⩾0\wedge y^n⩽x\}$。我们常把 $x^{\frac{1}{2}}$ 记作 $\sqrt{x}$。

  证明：只需证明 $E:=\{y\in \mathbb{R}:y⩾0\wedge y^n⩽x\}$ 非空和存在上界即可。容易发现一定有 $0\in E$。

  存在整数 $N>0$ 使得 $x⩽N$，通过对 $N$ 归纳可以证明存在正整数 $Y$ 使得 $Y^n⩾N⩾x$。那么 $Y$ 是 $E$ 的上界（若 $y>Y$，则 $y^n>Y^n⩾x⟹y\notin E$）。

• 引理 5.6.5：设实数 $x>0,y⩾0$ 和整数 $n⩾1$。若 $y^n<x$，那么存在实数 $\epsilon >0$，使得 $(y+\epsilon {)}^n<x$；若 $y^n>x$，那么存在实数 $\epsilon >0$，使得 $(y-\epsilon {)}^n>x$。

  证明：两证明对称，证前面那个。根据 5.6.4 的证明，可知存在正整数 $Y$ 使得 $y⩽Y$，那么对 $n$ 归纳可以证明存在正整数 $k$ 使得 $(y+\epsilon {)}^n⩽y^n+k\epsilon$。那么取 $\epsilon$ 使得 $0<\epsilon <\frac{x-y^n}{k}$ 即可。

• 引理 5.6.6：设实数 $x,y>0$ 和整数 $n,m⩾1$。

  1. $(x^{\frac{1}{n}}{)}^n=x$。证明：设 $y=x^{\frac{1}{n}}$，类似命题 5.5.5 的证明，利用引理 5.6.5，可以证明不可能有 $y^n<x$ 或 $y^n>x$。

  2. $y^n=x⟹y=x^{\frac{1}{n}}$。证明：利用序的性质及命题 5.6.3 易证。

     推论1：$y=(y^n{)}^{\frac{1}{n}}$。推论2（消去律）：$x^n=y^n⟹x=y$。

  3. $x^{\frac{1}{n}}>0$。证明：$0^n<x$，根据引理 5.6.5 可知 $0$ 不是上界，故上确界大于 $0$。

  4. $x>y⟺x^{\frac{1}{n}}>y^{\frac{1}{n}}$。证明：根据命题 5.6.3 易证。

  5. 若 $x>1$，那么 $x^{\frac{1}{n}}$ 是关于 $n$ 的减函数；若 $x<1$，那么 $x^{\frac{1}{n}}$ 是关于 $n$ 的增函数；若 $x=1$，那么对于任意 $n⩾1$，$x^{\frac{1}{n}}=1$。

     证明：只证第一条，即证 $x^{\frac{1}{n}}>x^{\frac{1}{n+1}}$。可以证明 $x^{\frac{1}{n+1}}>1$，那么可以对幂次归纳证明 $(x^{\frac{1}{n+1}}{)}^n<(x^{\frac{1}{n+1}}{)}^{n+1}=x$，于是 $x^{\frac{1}{n+1}}<x^{\frac{1}{n}}$。

  6. $(xy{)}^{\frac{1}{n}}=x^{\frac{1}{n}}{y}^{\frac{1}{n}}$。证明：它们的 $n$ 次方相等。

  7. $(x^{\frac{1}{n}}{)}^{\frac{1}{m}}=x^{\frac{1}{nm}}$。证明：它们的 $nm$ 次方相等。推论：$(x^{\frac{1}{nm}}{)}^m=x^{\frac{1}{n}}$。

可以证明，$x^{\frac{1}{1}}$ 和 $x^1$ 是相容的。接下来我们定义实数的有理数次幂。

• 定义 5.6.7（有理数次幂的指数运算）：设实数 $x>0$ 和有理数 $q=\frac{a}{b}$，其中 $a$ 是整数且 $b$ 是正整数，定义 $x^q:=(x^{\frac{1}{b}}{)}^a$。

• 命题 5.6.8（实数关于有理数次求幂遵从代入公理）：设 $x>0$ 是实数，$a,a^{\prime }$ 是整数，$b,b^{\prime }$ 是正整数，且满足 $\frac{a}{b}=\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$，那么 $(x^{\frac{1}{b}}{)}^a=(x^{\frac{1}{b^{\prime }}}{)}^{a^{\prime }}$。

  证明：$a{b}^{\prime }=a^{\prime }b$。当 $a>0$ 时，$a^{\prime }>0$，有 $x^{\frac{1}{a{b}^{\prime }}}=x^{\frac{1}{a^{\prime }b}}$，将等式两边同时取 $a{a}^{\prime }$ 次幂，即证。当 $a=0$ 和 $a<0$ 时类似。

容易发现，有理数次幂和整数次幂及定义 5.6.4 是相容的。我们给出有理数次幂的一些基本性质：

• 引理 5.6.9：设实数 $x,y>0$ 和有理数 $q,r$。

  1. $x^q>0$。证明：结合引理 5.6.6.3 和命题 5.6.3。

  2. $x^{q+r}=x^q{x}^r$ 且 $(x^q{)}^r=x^{qr}$。证明：将 $q,r$ 表示成分数的形式，然后等式两侧同时取幂，利用引理 5.6.6 消掉 $x$ 的幂次中的分母，然后变成整数次幂的形式。

  3. $x^{-q}=\frac{1}{x^q}$。证明：方法同上。

  4. 若 $q>0$，$x>y⟺x^q>y^q$。证明：结合引理 5.6.6.4 和命题 5.6.3。

  5. 若 $x>1$，那么 $x^q<x^r⟺q<r$。若 $x<1$，那么 $x^q<x^r⟺q>r$。证明：将 $q,r$ 通分使得分母相同然后再证明（注意我们还未定义互质和通分等，但这里的通分指的是，设 $q=\frac{a}{b},r=\frac{c}{d}$，那么 $q=\frac{ad}{bd},r=\frac{bc}{bd}$）。

而对于实数的实数次幂，我们将推迟到正式定义了极限的概念之后。