集合论

我们现在介绍集合论中的一些概念和记号，他们通常广泛而频繁地被用到。几乎所有数学分支领域都将集合论作为其基础。因此在学习高级的数学领域之前，学习集合论中的一些基础概念是非常重要的。我们下面给出公理集合论中的部分（较为初等）的内容，可以证明，我们将要建立的集合公理体系是等价于ZF公理集合论的。

3.1 基本事项

首先，集合是一个不加定义的原始概念，这意味着我们不打算构造出集合这个概念，而是使用公理来规范化它。我们并不会知道什么是集合，我们只是列出集合可以进行的运算和性质。我们认为，一个集合始终是一个对象。

然后我们定义一个对象 $o$ 和集合 $A$ 之间的二元关系 $\in$，且称 $o\in A$ 为 “$o$ 属于 $A$” 或 “$A$ 包含 $o$” 或 “$o$ 是 $A$ 的元素”。特别地，由于集合是对象，询问一个集合是否属于另一个集合是有意义的。

注：根据定义，“集合内不能有重复的元素” 这种说法是荒谬的。而下文中，“$A$ 的每个元素都……” 的含义是 “对于任意的对象 $x$ 满足 $x$ 是 $A$ 的元素，$x$ 都满足……”。即，我想强调的是，“元素”描述的是一种关系，而不是一个对象。

纯粹集合论认为一切对象都是集合。从逻辑学的角度来看，纯粹集合论确实是一种更加简单的理论，人们只需要处理集合，而无需考虑其他对象。然而我们从概念角度来说，不纯粹的集合论的处理更加容易（例如，纯粹集合论可以把 $0$ 看做 $\varnothing$，$1$ 看做 $\left\{\varnothing \right\}$，$2$ 看做 $\left\{\left\{\varnothing \right\}\right\}$，以此类推）。单纯从应用的角度来看，两种想法集合是等价的。因此，对于一切对象是否都是集合，我们采取不可知的态度。即我们既不添加公理确认这一点，也不添加公理否认这一点，而在现在的公理体系中，命题“一切对象都是集合”是未决的（不能证明也不能推翻）。

我们先在 $\in$ 的基础之上扩展一些仅适用于集合间的二元关系。

• 定义 3.1.1（子集）：设 $A,B$ 是集合，定义 $A\subseteq B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的子集” 或 “$A$ 包含于 $B$” 或 “$B$ 包含 $A$"），当且仅当 $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素。形式化地说 $A\subseteq B⟺{\mathrm{\forall }}_{x\in A}x\in B$。

  定义 $A⊊B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的真子集” 或 “$A$ 真包含于 $B$” 或 “$B$ 真包含 $A$"），当且仅当 $A\subseteq B$ 且 $B⊈A$。

• 命题 3.1.2（集合的包含关系的基本性质）：设 $A,B,C$ 为集合，那么：

  • 自反性：$A\subseteq A$。

    证明：根据定义可得。

  • 传递性：若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$。

    证明：根据定义，$A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素，$B$ 的每个元素都是 $C$ 的元素，那么 $A$ 的每个元素都是 $C$ 的元素。

  • 混合传递性：若 $A⊊B$ 且 $B\subseteq C$，则 $A⊊C$；若 $A\subseteq B$ 且 $B⊊C$，则 $A⊊C$。

    证明：两者类似，证前面那个。首先 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ 可知 $A\subseteq C$，然后由于 $B⊈A$，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $B$ 的元素而非 $A$ 的元素，又 $B$ 的元素都是 $C$ 的元素，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $C$ 的元素而非 $A$ 的元素，故 $C⊈A$，那么 $A⊊C$。

集合的真包含关系显然是一种偏序关系，因为我们知道对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，不可能同时成立 $A⊊B$ 和 $B⊊A$。但是真包含关系与我们定义在自然数上的小于关系 $<$ 的不同之处在于，后者是一种全序关系。在满足偏序性质的基础上，我们还知道对于两个不相等的数 $a$ 和 $b$，要么成立 $a>b$，要么成立 $b>a$。对于集合的真包含关系而言，这一条性质是不满足的。考虑集合 $A=\{1,2\}$ 和 $B=\{2,3\}$，它们既不相等，也没有哪一个是另一个的真子集。

• 定义 3.1.3（集合之相等）：设 $A,B$ 是集合，定义 $A=B$（称为 $A,B$ 相等），当且即当 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。

• 命题 3.1.4（集合的相等关系的基本性质）：设 $A,B,C$ 为集合，那么：

  • 自反性：$A=A$。证明：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq A$。

  • 对称性：若 $A=B$，则 $B=A$。证明：根据定义可知。

  • 传递性：若 $A=B,B=C$，则 $A=C$。证明：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq C$ 且 $C\subseteq A$。

可以证明 “若 $A=B$，则 $x\in A⟺x\in B$”，即集合关于命题 “某个对象 $x$ 是否属于该集合 ” 遵从代入公理。

• 引理 3.1.5（集合构造的唯一性）：若存在集合 $S$，满足 $x\in S⟺P(x)$，其中 $P(x)$ 是某个关于任意对象 $x$ 的命题，那么 $S$ 唯一。

  证明：若存在两个集合 $S,S^{\prime }$ 都满足条件，那么 $x\in S⟺P(x)⟺x\in S^{\prime }$，于是 $S=S^{\prime }$。

接下来运用公理构建集合时，我们都使用该引理来说明构建的集合的唯一性。

类似自然数，我们将从空集开始，然后借助几个运算公理化更多的集合。

• 公理 3.1.6（空集）：存在一个集合 $\varnothing$（空集），对于任意的 $x$，$x\notin \varnothing$。

• 公理 3.1.7（单元素集）：对于任意一个对象 $a$，存在一个集合 $\{a\}$，它唯一的元素是 $a$。称这样的集合为单元素集。

• 公理 3.1.8（双并）：对于两个集合 $A,B$，存在一个集合 $A\cup B$，称为 $A$ 和 $B$ 的并，其元素由属于 $A$ 或属于 $B$ 的一切元素组成。即，对于任意对象 $x$，

  $$x\in A\cup B⟺(x\in A\vee x\in B)$$

容易证明并运算满足交换律和结合律。容易证明 $A\cup \varnothing =A$。

根据双并公理，我们可以定义双元素集：

• 定义 3.1.9（双元素集）：若 $a$ 和 $b$ 是两个对象，根据双并公理，存在一个集合 $\{a,b\}=\{a\}\cup \{b\}$，其仅有的元素是 $a$ 和 $b$。即，对于每个对象 $y$，有 $y\in \{a,b\}⟺(y\in a\vee y\in b)$。

类似地，我们可以定义三元素集、四元素集，依此类推。

但另一方面，我们还不能对于任意给定的自然数 $n$ 定义由 $n$ 个对象组成的集合。这将要求重复使用双并公理 $n$ 次，然而 $n$ 次重复的概念尚不曾被严格地定义（没有关于集合的归纳方法）。根据类似的理由，我们也还不能定义由无限多个对象组成的集合。

• 公理 3.1.10（分类公理）：设 $A$ 是一个集合，并对于每个 $x\in A$，设 $P(x)$ 是一个关于 $x$ 的命题。那么存在一个集合 $\{x\in A:P(x)\}$（或 $\{x\in A|P(x)\}$），它的元素恰恰是 $A$ 中使 $P(x)$ 成立的 $x$。即，对于任意对象 $y$，

  $$y\in \{x\in A:P(x)\}⟺(y\in A\wedge P(y))$$

分类可以看成关于集合 $A$ 和命题 $P$ 的运算。可以证明 “若 $A=B$，则 $\{x\in A:P(x)\}=\{x\in B:P(x)\}$”，即集合关于分类运算遵从代入公理。

利用分类运算和分类公理，我们可以定义集合的其他一些运算。

• 定义 3.1.11（交）：两个集合 $A$ 和 $B$ 的交 $A\cap B$ 定义为集合 $\{x\in A:x\in B\}$。根据分类公理，$A\cap B$ 存在。

  定义两个集合是不交的，当且仅当 $A\cap B=\varnothing$。

• 定义 3.1.12（差集）：两个集合 $A$ 和 $B$ 的差 $A\setminus B$ 定义为集合 $\{x\in A:x\notin B\}$。根据分类公理，$A\setminus B$ 存在。

• 命题 3.1.13（集合构成一个布尔代数）：

  设 $A,B,C,X$ 均为集合，且满足 $A,B,C\subseteq X$。

  1. 最小元：$A\cup \varnothing =A$ 以及 $A\cap \varnothing =\varnothing$。
  2. 最大元：$A\cup X=X$ 以及 $A\cap X=A$。
  3. 恒等式：$A\cup A=A$ 以及 $A\cap A=A$。
  4. 交换律：$A\cup B=B\cup A$ 以及 $A\cap B=B\cap A$。
  5. 结合律：$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ 以及 $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$。
  6. 分配律：$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ 以及 $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$。
  7. 分差法则：$A\cup (X\setminus A)=X$ 以及 $A\cap (X\setminus A)=\varnothing$。
  8. 摩根定律：$X\setminus (A\cup B)=(X\setminus A)\cap (X\setminus B)$。

这些公理还不能满足我们的要求，例如把集合中的元素每个都加上 $1$，把 $\{1,6,15\}$ 变为 $\{2,7,16\}$，这是我们现在有的公理无法办到的。我们需要更加强大的数学工具，因此让我们再添加一个公理：

• 公理 3.1.14（替换公理）：设 $A$ 是一个集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in A$ 和任意对象 $y$ 的命题，且满足对于每个 $x\in A$ 存在至多一个 $y$ 使得 $P(x,y)$ 成立。那么存在一个集合 $\{y:{\mathrm{\exists }}_{x\in A},P(x,y)\}$，使得对于任何对象 $z$

  $$z\in \{y:{\mathrm{\exists }}_{x\in A},P(x,y)\}⟺{\mathrm{\exists }}_{x\in A},P(x,z)$$

  我们常把形如 $\{y:{\mathrm{\exists }}_{x\in A},y=f(x)\}$ 的集合简写成 $\{f(x):x\in A\}$。

注意到，替换公理蕴含分类公理，我们只需令 $P(x,y)⟺x=y\wedge Q(x)$ 即可构造出集合 $\{x\in A:Q(x)\}$。

接下来，我们将引入无限集合：

• 公理 3.1.15（无穷大）：存在一个集合 $\mathbb{N}$，其元素叫作自然数，满足 $0$ 是 $\mathbb{N}$ 中的一个对象，并且对于任意 $n\in \mathbb{N}$，由 $n$ 所指定的满足皮亚诺公理的后继对象 $n^{+}$ 也在 $\mathbb{N}$ 中。

这是假设 2.1.6 的更正式的形式。自然数集引入了无限集合的一个最基本的例子。

3.2 万有分类公理

从分类公理更进一步，我们考虑拓展出一个新的公理并将其加入集合论公理之中：

• 公理 3.2.1（万有分类公理）：设 $P(x)$ 是关于任意对象 $x$ 的命题，那么存在一个集合 $\{x:P(x)\}$，使得对于任何对象 $y$，

  $$y\in \{x:P(x)\}⟺P(y)$$

该公理断言每个性质对应一个集合，这也就是朴素的集合思想。这个公理蕴含了我们已经讨论过的公理，但这个公理不能被引入集合论，因为它引出了一个逻辑上的矛盾：

罗素悖论：

根据万有分类公理，有集合：

$$\mathrm{\Omega }:=\{x:x\text{是集合且}x\notin x\}$$

即一切不以自己为元素的集合的集合。那么现在问 $\mathrm{\Omega }$ 是否属于 $\mathrm{\Omega }$，发现不管 $\mathrm{\Omega }$ 是否属于 $\mathrm{\Omega }$，都会引出矛盾。

为了解决这个悖论，我们考虑把对象按照一定的层次结构排列。在层级结构最底层的是原始对象（不是集合的对象），在下一层次中则存在一些集合，但是这些集合的元素只能是原始对象。以此类推，一层次中存在的集合只能包含之前层次中的对象。这种想法引导出了正则公理。

• 公理 3.2.2 （正则公理） ：对于一个非空的集合 $A$，$A$ 中至少存在一个元素 $x$ 满足 $x$ 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$。

正则公理的一个重要推论是一个集合不能包含其本身，但是可以包含其他（更低层次的）集合。这使得我们排除了罗素悖论中定义的集合 $\mathrm{\Omega }$。

• 命题 3.2.3（集合不能包含其本身）：设 $A$ 为一个集合，那么 $A\notin A$。

  证明：（反证法）假设存在一个集合 $A$，满足 $A\in A$。根据单元素公理，存在一个集合 $B=\left\{A\right\}$。$B$ 是一个非空的集合，因此根据正则公理，应该存在 $x\in B$，满足 $x$ 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$，但是集合 $B$ 作为单元素集，只有 $A\in B$，而 $A$ 是一个集合，且 $A\cap B=A$，故 $B$ 集合违反正则公理，矛盾，假设不成立。原命题得证。

3.3 函数

• 定义 3.3.1（函数/映射/变换）：设 $X,Y$ 是集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in X$ 和任意对象 $y\in Y$ 的命题，使得对于每个对象 $x\in X$ 存在恰好一个 $y\in Y$ 使得 $P(x,y)$ 成立。那么我们定义由 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 上确定的函数 $f:X\to Y$ 是这样的对象，它对于任意的输入 $x\in X$，将指定一个输出 $f(x)\in Y$，满足

  $$y=f(x)⟺P(x,y)$$

  根据 $P(x,y)$ 的定义，对于任意 $x\in X$，$f(x)$ 存在且唯一。

  定义函数 $f$ 的定义域为 $X$，对应域为 $Y$，值域为 $f(X):=\{f(x):x\in X\}$，那么值域为对应域的子集。

有时我们在定义函数时，为了方便，在确定完其定义域 $X$ 后，直接指定从输入 $x$ 得到输出 $f(x)$ 的过程（procedure）（即如何从 $x$ 得到 $f(x)$）来定义 $f$。其真正的过程如下：在确定完定义域 $X$ 之后，先定义 $P(x,y)$ 表示命题 “$y$ 是 $x$ 经过 procedure 过程得到的结果”，若未给出对应域，再令对应域为 $Y:=\{y:{\mathrm{\exists }}_{x\in X},P(x,y)\}$（可以发现此时对应域和值域相等），然后再定义 $f$ 为由 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 上确定的函数。

易证对象关于函数遵从代入公理：如果 $x=x^{\prime }$，那么 $f(x)=f(x^{\prime })$。当然前提是 $x$ 关于 $P(x,y)$ 遵从代入公理。

有时函数的变元用下标来表示以取代括号，如，一个自然数序列 $a_0,a_1,\cdots$ 严格地说是一个从 $\mathbb{N}$ 到 $\mathbb{N}$ 的函数，而 $a_n$ 其实就是 $a(n)$。

• 定义 3.3.2（函数相等）：对于两个函数 $f$ 和 $g$，称它们是相等的（记为 $f=g$），当且仅当它们含有相同的定义域 $X$ 和对应域 $Y$，且对于任意 $x\in X$，$f(x)=g(x)$。

容易验证函数相等是自反、传递、对称的。

对于函数，一个基础性的可执行的运算是复合。

• 定义 3.3.3（复合）：设 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 是两个函数，其中 $f$ 的对应域等于 $g$ 的定义域。那么可以定义两个函数 $g$ 与 $f$ 的复合：

  $$(g\circ f)(x):=g(f(x))$$

  容易证明，对于任意 $x\in X$，$g(f(x))$ 存在且唯一。

易证函数关于复合遵从代入公理：如果 $f=f^{\prime }$，那么 $g\circ f=g\circ f^{\prime }$；如果 $g=g^{\prime }$，那么 $g\circ f=g^{\prime }\circ f$。

• 引理 3.3.4（复合是结合的）：$f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$。证明：根据定义可知。

我们再来描述其他一些有关函数的概念。

• 定义 3.3.5（单射）：一个定义域为 $X$ 的函数 $f$ 是单射当且仅当对于任意的 $x\in X$ 和任意的 $x^{\prime }\in X$，若 $x\ne x^{\prime }$，则 $f(x)\ne f(x^{\prime })$。

• 定义 3.3.6（满射）：一个定义域为 $X$ 对应域为 $Y$ 的函数 $f$ 是满射当且仅当 $Y=f(X)$。

• 定义 3.3.7（双射/一一对应）：一个函数是双射的当且仅当它既是单射的，又是满射的。

  该定义也等价于，对于每个 $y\in Y$，恰有一个 $x\in X$ 使得 $f(x)=y$（至多一个意味着单射，至少一个意味着满射），记为 $f^{-1}(y)$，那么 $f^{-1}$ 就是一个从 $Y$ 到 $X$ 的函数。此时称 $f^{-1}$ 为 $f$ 的逆。

3.4 象和逆象

• 定义 3.4.1（集合的象）：设函数 $f:X\to Y$，设 $S$ 是 $X$ 的一个子集，定义 $S$ 在映射 $f$ 下的象为

  $$f(S):=\{f(x):x\in S\}$$

• 定义 3.4.2（逆象）：设 $T$ 是 $Y$ 的一个子集，定义 $T$ 在映射 $f$ 的逆象为

  $$f^{-1}(T):=\{x\in S:f(x)\in T\}$$

注意函数也是对象，特别地我们可以考虑函数的集合，这里我们向考虑从一个集合 $X$ 到一个集合 $Y$ 的一切函数组成的集合。为此，我们引入公理：

• 公理 3.4.3（幂集公理）：设 $X$ 和 $Y$ 是集合，那么存在一个集合 $Y^X$，满足 $f\in Y^X$ 当且仅当 $f$ 是一个以 $X$ 为定义域以 $Y$ 为对应域的函数。

此公理的一个结果是：

• 引理 3.4.9（幂集存在性）：设 $X$ 是一个集合，那么存在集合 $\{Y:Y\subseteq X\}$（也记作 $2^X$，称为 $X$ 的幂集），使得对于任意对象 $Z$

  $$Z\in \{Y:Y\subseteq X\}⟺Z\subseteq X$$

  证明：设集合 $Y=\{0,1\}$。

  设 $P(f,S)$ 是关于映射 $f\in Y^X$ 和任意对象 $S$ 的命题，满足 $P(f,S)$ 为真当且仅当 $S$ 是 $X$ 的子集且 ${\mathrm{\forall }}_{x\in X},f(x)=1⟺x\in S$。

  根据引理 3.1.5，容易证明，对于每个 $f\in Y^X$，都恰好存在唯一的 $S:=\{x\in X:f(x)=1\}$ 使得 $P(f,S)$ 为真。

  根据替换公理，存在集合 $A:=\{S:{\mathrm{\exists }}_{f\in Y^X},P(f,S)\}$。那么 $Z\in A⟹Z\subseteq X$。

  为证 $Z\subseteq X⟹(Z\in A⟺{\mathrm{\exists }}_{f\in Y^X},P(f,Z))$，我们构造函数 $f(x):=[x\in Z]$ 即可。

  于是 $Z\in A⟺Z\subseteq X$，得证。

为了完整起见，我们现在再往集合论中添加一条公理，它扩充了双并公理而允许做出更大的并集。

• 公理 3.4.10（并）：设 $A$ 是集类（即它的每个元素都是一个集合），那么存在一个集合 $\bigcup A$，使得对于任意对象 $x$

  $$x\in \bigcup A⟺{\mathrm{\exists }}_{S\in A},x\in S$$

该公理的一个重要的结果是：

• 定义 3.4.11（集族的并）：设 $I$ 为一集合，且对于任意 $\alpha \in I$，都映射到一个集合 $A_{\alpha }$。

  此时我们称 $I$ 为指标集，称 $I$ 的元素 $\alpha$ 为标签，称 $\{A_{\alpha }:\alpha \in I\}$ 为一个集族，其中的元素是贴有标签 $\alpha \in I$ 的。

  定义集族 $\{A_{\alpha }:\alpha \in I\}$ 的并为集合 $\bigcup _{\alpha \in I}{A}_{\alpha }:=\bigcup \{A_{\alpha }:\alpha \in I\}$。那么对于任意对象 $y$

  $$y\in \bigcup _{\alpha \in I}{A}_{\alpha }⟺{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in I},y\in A_{\alpha }$$

  注意到，当 $I$ 为空集时，集族的并也为空集。

对称地，尽管不需要用到并公理，我们定义：

• 定义 3.4.12（集族的交）：设 $I$ 为一非空集合，且对于任意 $\alpha \in I$，都映射到一个集合 $A_{\alpha }$。

  由于 $I$ 非空，那么存在某个对象 $\beta \in I$。然后定义集族 $\{A_{\alpha }:\alpha \in I\}$ 的交为集合 $\bigcap _{\alpha \in I}{A}_{\alpha }:=\{x\in A_{\beta }:{\mathrm{\forall }}_{\alpha \in I},x\in A_{\alpha }\}$。那么对于任意对象 $y$

  $$y\in \bigcap _{\alpha \in I}{A}_{\alpha }⟺{\mathrm{\forall }}_{\alpha \in I},x\in A_{\alpha }$$

  注意，该定义不依赖于 $\beta$ 的选择。

集合论的这些我们已经引入的公理统称为ZF公理集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory，策梅洛-弗兰克尔集合论）。后面我们将还需要一个更进一步的公理，即著名的选择公理，它们统称为集合论的ZFC公理集合论（Zermelo-Fraenkel-Choise Set Theory，策梅洛-弗兰克尔-选择集合论）。

3.5 笛卡尔积

• 定义 3.5.1（序偶/有序对）：设 $x$ 和 $y$ 是两个对象（可以相等），定义序偶 $(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}$，定义 $x$ 为它的第一个分量而 $y$ 为它的第二个分量。

  可以证明，两个序偶 $(x,y)$ 和 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 相等，当且仅当 $x=x^{\prime }\wedge y=y^{\prime }$。

• 定义 3.5.2（笛卡尔积）：设 $X$ 和 $Y$ 是集合，定义它们的笛卡尔积为集合 $X\times Y$（或记作 $\{(x,y):x\in X,y\in Y\}$），使得对于任意的对象 $a$

  $$a\in X\times Y⟺{\mathrm{\exists }}_{x\in X,y\in Y},a=(x,y)$$

  证明：首先，对于每个 $x\in X$，存在一个集合 $A_x:=\{(x,y):y\in Y\}$。

  再构造集合 $B=\bigcup _{x\in X}{A}_x$。发现对于任意对象 $a$，$a\in B⟺{\mathrm{\exists }}_{x\in X,y\in Y},a=(x,y)$，得证。

设 $f:X\times Y\to Z$ 是一个函数。我们认为，$f$ 即是以 $X\times Y$ 为定义域的单变元函数，也是以 $X$ 和 $Y$ 同为定义域的两个变元的函数。

现在我们扩展序偶的概念。

• 定义 3.5.3（有序 $n$ 元组/$n$ 元序列）：设 $n$ 是自然数，定义一个有序 $n$ 元组为一个函数 $x:\{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n\}\to X$，其中 $X$ 是任意的某个集合，满足 $x$ 是满射。我们把 $x(i)$ 写成 $x_i$，称为第 $i$ 个分量，并把 $x$ 写成 $(x_i{)}_{1⩽i⩽n}$。

  那么可以证明，两个有序 $n$ 元组 $(x_i{)}_{1⩽i⩽n}$ 和 $(y_i{)}_{1⩽i⩽n}$ 是相等的，当且仅当对于任意自然数 $1⩽i⩽n$，$x_i=y_i$。

• 定义 3.5.4（$n$ 重笛卡尔积）：设 $(X_i{)}_{1⩽i⩽n}$ 是一个集合的有序 $n$ 元组，我们定义此组的诸分量的笛卡尔积为集合 $\prod _{1⩽i⩽n}{X}_i$（或记作 $\prod _{i=1}^n{X}_i$ 或 $X_1\times \cdots \times X_n$ 或 $\{(x_i{)}_{1⩽i⩽n}:{\mathrm{\forall }}_{1⩽i⩽n},x_i\in X_i\}$），使得对于任意的对象 $a$

  $$a\in \prod _{1⩽i⩽n}{X}_i⟺(a=(x_i{)}_{1⩽i⩽n}\wedge ({\mathrm{\forall }}_{1⩽i⩽n},x_i\in X_i))$$

  证明：考虑集合 $A:={\left(\bigcup _{1⩽i⩽n}{X}_i\right)}^{\{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n\}}$，$B:=\{x\in A:{\mathrm{\forall }}_{1⩽i⩽n},x_i\in X_i\}$，容易发现集合 $B$ 即为所求。

设 $f:X_1\times X_2\times X_3\to Y$ 是一个函数。我们认为，$f$ 可以被看做是一个变元 $(x_1,x_2,x_3)\in X_1\times X_2\times X_3$ 的函数，或三个变元 $x_1\in X_1,x_2\in X_2,x_3\in X_3$ 的函数，或两个变元 $x_1\in X_1,(x_2,x_3)\in X_2\times X_3$ 的函数，诸如此类。我们将不在乎这些不同的看法，而假装它们实际上是相同的。

• 引理 3.5.5（有限选择）：设 $(X_i{)}_{1⩽i⩽n}$ 是一个非空集合的 $n$ 元序列，那么 $\prod _{1⩽i⩽n}{X}_i$ 也非空，即存在一个 $n$ 元序列 $(x_i{)}_{1⩽i⩽n}$ 使得对于任意自然数 $1⩽i⩽n$，$x_i\in X_i$。

  证明：对 $n$ 归纳。每次选择一个 $a\in X_{n^{+}}$ 并令 $x_{n^{+}}=a$。

3.6 集合的基数

• 定义 3.6.1（相同的基数）：称两个集合 $X$ 和 $Y$ 具有相同基数当且仅当存在一个 $X$ 与 $Y$ 间的双射 $f:X\to Y$。

容易证明，“有相同的基数”这一概念是一个等价关系，满足自反性、对称性、传递性。对于一个有限集，我们可以用一个自然数来表示其集合的大小，即其所含元素的个数。

• 定义 3.6.2（基数）：设 $n$ 是自然数。称一个集合 $X$ 具有基数 $n$（或称 $X$ 有 $n$ 个元素，记作 $\mathrm{card}X$），当且仅当它与集合 $\{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n\}$ 具有相同的基数。

• 引理 3.6.3（基数的非退化性）：$X=\varnothing ⟺\mathrm{card}X=0$，即一个集合 $X$ 具有基数 $0$ 当且仅当 $X$ 为空集，且若 $X$ 为空集，则 $X$ 仅具有基数 $0$。

  证明：证明不存在空集与非空集间的双射即可。

• 引理 3.6.4（基数的可减性）：设集合 $X$ 具有基数 $n^{+}$（则 $X$ 非空），若 $x\in X$，那么 $X\setminus \{x\}$ 有基数 $n$。

  证明：根据假设，存在一个 $X$ 到 $\{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n^{+}\}$ 的双射 $f$。现在定义一个 $X\setminus \{x\}$ 到 $\{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n\}$ 的函数 $g$。分两种情况讨论：

  • 若 $f(x)=n^{+}$，那么对于任意 $y\in X\setminus \{x\}$，定义 $g(y):=f(y)$。

  • 若 $f(x)\ne n^{+}$，那么对于任意 $y\in X\setminus \{x\}$，若 $f(y)\ne n^{+}$，则定义 $g(y):=f(y)$；若 $f(y)=n^{+}$，则定义 $g(y):=f(x)$。

  可以证明，按上述定义的函数 $g$ 存在且唯一，且 $g$ 是双射。

• 命题 3.6.5（基数的唯一性）：设集合 $X$ 具有基数 $n$，那么对于任意 $m\ne n$，$X$ 不具有基数 $m$。

  证明：对 $n$ 进行归纳。当 $n=0$ 时，根据引理 3.6.3 可知命题成立。

  归纳地假设命题对 $n$ 成立。设集合 $X$ 具有基数 $n^{+}$（则 $X$ 非空），反证地设其又具有基数 $m^{+}\ne n^{+}$，$X$ 非空意味着存在 $x\in X$，那么对于集合 $X\setminus \{x\}$，它既具有基数 $n$，有具有基数 $m\ne n$，矛盾，故命题对 $n^{+}$ 成立。故命题对任意自然数 $n$ 成立，得证。

• 定义 3.6.6（有限集）：称一个集合是有限的，当且仅当它具有基数 $n$（那么 $n$ 唯一）；否则称该集合为无限的。

注意到，两个集合具有相同的基数，必要条件是它们同为有限集或同为无限集，而对于有限集，我们往后也不会用其他的方式来定义它另外具有的基数，所以对于有限集 $X$，设它具有基数 $n$，那么我们不妨直接称 $X$ 的基数为 $\mathrm{card}X=n$。

• 定理 3.6.7：$\mathbb{N}$ 是无限集。

  证明：反证法。若 $\mathbb{N}$ 存在基数 $n$，那么存在一个 $\{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n\}$ 到 $\mathbb{N}$ 的双射 $f$。

  通过对 $n$ 归纳，可以证明序列 $f(1),\cdots ,f(n)$ 是有界的：存在一个自然数 $M$，使得 ${\mathrm{\forall }}_{1⩽i⩽n},f(i)⩽M$。

  那么自然数 $M+1$ 就不等于任何 $f(i)$，这与 $f$ 是双射矛盾。

应用到集合论公理和定义上，我们给出关于有限集的基数的一些基本性质：

• 命题 3.6.8（基数算术）：基数满足如下性质：

  1. 设 $X$ 是有限集，并设 $x$ 是一个不属于 $X$ 的对象。那么 $X\cup \{x\}$ 为有限集且 $\mathrm{card}X\cup \{x\}=\mathrm{card}X+1$。

     证明：在原来映射的基础上，再将 $x$ 映射到 $\mathrm{card}(X)+1$ 即可。

  2. 设 $X$ 是有限集，并设 $Y$ 是 $X$ 的子集。那么 $Y$ 是有限集且 $\mathrm{card}Y⩽\mathrm{card}X$，当且仅当 $X=Y$ 时取等号。

     证明：设 $P(n)$ 表示对于任意有限集 $X$ 满足 $\mathrm{card}X=n$，上述命题成立。我们只需证明对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立即可。对 $n$ 进行归纳。当 $n=0$ 时，$X$ 为空集，命题显然成立。

     归纳地假设 $P(n)$ 成立。对于任意有限集 $X$ 满足 $\mathrm{card}X=n^{+}$ 及任意 $Y\subseteq X$，

     1. 若 $Y=X$，则 $Y$ 是有限集且 $\mathrm{card}Y=\mathrm{card}X$。

     2. 若 $Y\ne X$ 即 $X⊈Y$，则存在 $x\in X$ 满足 $x\notin Y$，考虑集合 $X\setminus \{x\}$，根据引理 3.6.4，该集合是有限集且其基数为 $n$。容易证明 $Y\subseteq X\setminus \{x\}$，那么根据归纳，$Y$ 是有限集且 $\mathrm{card}Y⩽\mathrm{card}(X\setminus \{x\})<\mathrm{card}X$。

     于是 $P(n^{+})$ 成立。于是对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立。

  3. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么 $X\cup Y$ 是有限集且 $\mathrm{card}(X\cup Y)⩽\mathrm{card}X+\mathrm{card}Y$，当且仅当 $X,Y$ 不交时等号成立。

     证明：设 $\mathrm{card}X=n$ 且 $\mathrm{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽m\}$。

     考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\notin X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 $h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y))$ 存在，且 $Z\subseteq \{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n+m\}$。

     根据 3.6.8.2，可知 $Z$ 为有限集且 $\mathrm{card}Z⩽n+m$，当且仅当 $Z=\{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n+m\}$ 时取等。那么 $X\cup Y$ 也为有限集且 $\mathrm{card}(X\cup Y)⩽n+m$，当且仅当 $h(X\cup Y)=\{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n+m\}$，即 $X\cap Y=\varnothing$ 时等号成立。

  4. 设 $X$ 是有限集，且 $f:X\to Y$ 是一个函数，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\mathrm{card}f(X)⩽\mathrm{card}X$，当且仅当 $f$ 为单射时取等。

     证明：仍用与 3.6.8.2 类似的证明方法。设 $P(n)$ 表示对于任意有限集 $X$ 满足 $\mathrm{card}X=n$，上述命题成立。当 $n=0$ 时，$X,f(X)$ 为空集，命题显然成立。

     归纳地假设 $P(n)$ 成立。欲对于有限集 $X$ 满足 $\mathrm{card}X=n^{+}$ 和函数 $f:X\to Y$ 证明命题。

     一定存在一个元素 $x\in X$，设 $X^{\prime }=X\setminus \{x\}$。设函数 $f^{\prime }:X^{\prime }\to Y$，使得 ${\mathrm{\forall }}_{x\in X^{\prime }},f^{\prime }(x):=f(x)$。根据归纳，$f^{\prime }(X^{\prime })$ 为有限集且 $\mathrm{card}{f}^{\prime }(X^{\prime })⩽\mathrm{card}(X^{\prime })=n$，当且仅当 $f^{\prime }(X^{\prime })$ 为单射时取等。

     • 若 $f(x)\in f^{\prime }(X^{\prime })$，则 $f^{\prime }(X^{\prime })=f(X)$，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\mathrm{card}f(X)<n^{+}$。

     • 若 $f(x)\notin f^{\prime }(X^{\prime })$，则 $f(X)=f^{\prime }(X^{\prime })\cup \{f(x)\}$ 为有限集，且 $\mathrm{card}f(X)=\mathrm{card}{f}^{\prime }(X^{\prime })+\mathrm{card}\{f(x)\}⩽n+1$，当且仅当 $f^{\prime }(X^{\prime })$ 为单射时取等，结合 $f(x)\notin f^{\prime }(X^{\prime })$，可知等价于 $f(X)$ 为单射。

     于是 $P(n^{+})$ 成立。于是对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立。

  5. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么笛卡尔积 $X\times Y$ 是有限的，且 $\mathrm{card}(X\times Y)=\mathrm{card}X\times \mathrm{card}Y$。

     证明：设 $\mathrm{card}X=n$ 且 $\mathrm{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽m\}$。

     构造映射 $h:X\times Y\to \{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽nm\}$，满足对于任意 $(x,y)\in X\times Y$， $h(x,y):=(f(x)-1)m+g(y)$。

     容易证明 $h$ 是个双射，证毕。

  6. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么集合 $Y^X$ 是有限的，且 $\mathrm{card}(Y^X)=(\mathrm{card}Y{)}^{\mathrm{card}X}$。

     证明：设 $\mathrm{card}X=n$ 且 $\mathrm{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽m\}$。

     构造映射 $h:Y^X\to \{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽m^n\}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum _{i=1}^n(g\circ p\circ f^{-1})(i)\cdot Y^{i-1}$。

     此处需先对 $n$ 归纳证明形如 $\sum _{i=1}^{n}a(i)$ 的求和式存在且唯一，其中 $a:\{i\in \mathbb{N}:1⩽i⩽n\}\to \mathbb{N}$。

     容易证明 $h$ 是个双射，证毕。

经过上述性质的证明，我们看到，通过基数和单个选取引理，我们已经能对有限集使用类似归纳的方法了。

至此，我们对于集合的讨论告一段落。