算法——从斐波那契数列谈起(一)

问题的开始

现在有一个数列 ${\mathcal{f}}_x$
满足

$${\mathcal{f}}_x=\{\begin{array}{ll}1& x=\{0,1\}\\ {\mathcal{f}}_{x-1}+{\mathcal{f}}_{x-2}& otherwise\end{array}$$

通俗来讲，这个数列就是当前项等于之前两项之和。
求${\mathcal{f}}_x\mathrm{mod}m\mathrm{的}\mathrm{值}$

递归

递归是函数自己调用自己的过程，是一种通过重复将问题分解为同类的子问题而解决问题的方法，和分治类似。

递归的递归定义：

递归就是一种通过递归来解决问题的方法。

这时你如果要理解递归，就必须了解定义中加粗的递归的定义，于是你去看递归的定义，为了理解递归的定义，就必须了解定义中加粗的递归的定义$\dots$

于是你渐渐悟出，递归就是自己解释自己，自己使用自己的意思。

事实上，递归在数学中也十分常见：

集合论对自然数的正式定义是：
$1$ 是一个自然数，每个自然数都有一个后继，这一个后继也是自然数。

有限递归与无限递归

无限递归的例子：

从前有座山，山里有座庙。
庙里有个老和尚在给小和尚讲故事。
故事讲的是：
从前有座山，山里有座庙。
庙里有个老和尚在给小和尚讲故事。
故事讲的是：
$\dots$

没有终止，无穷无尽。

有限递归的例子：

你今年几岁？答：去年的岁数加一岁，2000 年我出生。

这次是有穷尽的递归，到2000年停止递归（2000年时1岁）。
这里2000年停止并返回1岁是递归的终止条件。

代码的例子

int func(传入数值) {
  if (终止条件) return 最小子问题解;
  return func(缩小规模);
}

回到问题

说了这么多，在回来看一看我们斐波那契数列的问题：

这个数列就是当前项等于之前两项之和。

现在这个问题很明显是递归了，求第 $x$ 项时先调用 $x-1$ 和 $x-2$ 项。

代码

int fabbic(int x) {
    if (x == 0 || x == 1) 
        return 1; // 终止条件

    return fabbic(x - 1) + fabbic(x - 2); // 递归调用
}