题解-骰子

题目

Description

桌面上有 $2$ 只完全相同的骰子，定义一次操作如下：将桌子上的骰子全部抛出，然后去掉那些奇数点的骰子，如果桌子上还有骰子，则重复上面的操作。
求操作 $n$ 次后，桌面上至少还有一个骰子的概率。
为了方便起见，你只需要输出概率对 $19260817$ 取模的结果。

Input

$1$ 行 $1$ 个整数 $n$
保证 $n$ 在long long范围内

Output

$1$ 行 $1$ 个结果 对 $19260817$ 取模的结果

Sample Input

1

Sample Output

4815205

HINT

对于 $40\mathrm{\%}$ 的数据 : $1\le nnn\le 1000000$
对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据 : $n$ 在long long范围内

题解

说点题外话：这两个字读骰子（tóu zǐ）

容易看出，解此题分两部分：

• 把概率对应的分数算出来
• 把分数取模

关于分数取模

$\frac{a}{b}\mathrm{mod}p$就是 $a\times b\mathtt{\text{关于}}p\mathtt{\text{的乘法逆元}}$

即

$$a\times b^{-1}(\mathrm{mod}p)$$

核心在于求解$b$关于$p$的乘法逆元。

即求解

$$ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

概率

题目求桌面上至少还有一个骰子的概率，所以就是剩一个骰子和剩两个骰子的概率。

每个骰子的奇数和偶数的概率相等，都是$\frac{1}{2}$。

每次操作后，$2$个骰子都留下和都去掉的概率都是$\frac{1}{4}$。

由$2$个骰子到$1$个的概率是$\frac{1}{2}$

当只剩$1$个骰子时，剩下和去掉的概率均是$\frac{1}{2}$。
RT:

定义在第$n$次操作后，剩两个、一个、恰好零个的概率分别为$f_2(n)$、$f_1(n)$、$f_0(n)$。

剩两个的概率比较好求：

$$f_2(n)=\frac{1}{4^n}$$

剩一个的概率是由2个到1个的概率加由1个到1个的概率：

$$f_1(n)=\frac{1}{2}\times f_2(n-1)+\frac{1}{2}\times f_1(n-1)$$

代入$f_2(n)=\frac{1}{4^n}$,

$$f_1(n)=\frac{1}{2\times 4^{n-1}}+\frac{1}{2}\times f_1(n-1)$$

代入$f_1(n-1)$，

$$f_1(n)=\frac{1}{2\times 4^{n-1}}+\frac{1}{2}\times (\frac{1}{2\times 4^{n-2}}+\frac{1}{2}\times f_1(n-2))$$

整理得，

$$f_1(n)=\frac{1}{2\times 4^{n-1}}+\frac{1}{4^{n-1}}+\frac{1}{4}\times f_1(n-2)$$

代入$f_1(n-2)$，

$$f_1(n)=\frac{1}{2\times 4^{n-1}}+\frac{1}{4^{n-1}}+\frac{1}{4}\times (\frac{1}{2\times 4^{n-3}}+\frac{1}{2}\times f_1(n-4))$$

整理得，

$$f_1(n)=\frac{1}{2\times 4^{n-1}}+\frac{1}{4^{n-1}}+\frac{1}{2\times 4^{n-2}}+\frac{1}{8}\times f_1(n-4)$$

到这里，已经容易看出：（每次分母除2，求和）

$$f_1(n)=\frac{1}{2\times 4^{n-1}}+\frac{1}{4^{n-1}}+\frac{1}{2\times 4^{n-2}}+\cdots +f_1(0)$$

另有，

$$f_1(0)=0$$

容易得出，

$$f_1(n)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{2^k}{2\times 4^{n-1}}$$

其实就是首项为$\frac{2^{n-1}}{2\times 4^{n-1}}=\frac{1}{2^n}$末项为$\frac{1}{2\times 4^{n-1}}$的等比数列。

所以其和就是，

$$f_1(n)=\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2\times 4^{n-1}}$$

答案就是，

$$\begin{array}{}\text{(1)}& Ans& =f_1(n)+f_2(n)\text{(2)}& & =\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2\times 4^{n-1}}+\frac{1}{4^n}\text{(3)}& & =\frac{2^{n+1}-1}{4^n}\end{array}$$

Code

附上本蒟蒻929B代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define MOD 19260817
using namespace std;

long long fast_pow(long long a, long long b) {
	if (b == 0) return 1;
	if (b == 1) return a;
	long long half_result = fast_pow(a, b / 2);
	if (b % 2 == 0) return half_result * half_result % MOD;
	else return (((half_result * half_result) % MOD) * a) % MOD;
}

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}

	long long result = exgcd(b, a % b, x, y);
	long long t = x;
	x = y;
	y = t - (a / b) * y;
	return result;
}

int main() {
	long long n;
	scanf("%lld", &n);
	long long a = fast_pow(2, n + 1) - 1;
	a %= MOD;
	if (a < 0) a += MOD;

	long long b = fast_pow(4, n);
	long long x, y;
	long long g = exgcd(b, MOD, x, y);
	if (g != 1) printf("qwq");
	while (x < 0) x += MOD;
	x *= a;
	x %= MOD;
	printf("%lld\n", x);
	return 0;
}