Tarjan求割点和桥
前置知识
- 邻接表存储及遍历图
- tarjan求强连通分量
割点
割点的定义
在一个无向图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，图的连通分量增多，就称这个点集为割点集合。
也就是说，就是有个点维持着连通分量的继续，去掉那个点，这个连通分量就无法在维持下去，分成好几个连通分量。
比如说，下图中
蓝色的点就是割点。
tarjan求割点
前向边
首先，先了解什么是前向边：
将这个无向图按树排列，从子节点到其祖先的边为前向边。
即为 \(low[x] < dfn[x]\) 时，有到x的前向边。
因为，low的定义是:
即从\(x\)所能到达的点中\(dfn[x]\)最小的点。
方案
可以得出，设\(y\)是\(x\)的任意儿子，满足$$dfn[x] \leq low[y]$$的点\(x\)就是割点。
同时，当\(x\)为根节点且\(x\)的儿子数量多于\(1\)时，\(x\)是割点。
原理
如果一个点不是根节点，那么当它\(dfn[x] \leq low[y]\)时，没有关于\(x\)的前向边。这时删除点\(x\)的话，\(x\)的儿子节点就无法到达\(x\)的祖先了，故\(x\)是割点。
如果\(x\)是根节点，那么当它的儿子数量多于\(1\)时，删除\(x\)，其儿子节点无法互相到达，故\(x\)是割点。
代码实现
下面是P3388 【模板】割点（割顶）的代码。
其中用bool iscut[20005];来记录割点。
vector<int> G[20005];
int dfn[20005], low[20005];
int n, m;
int sum, root;
bool iscut[20005];
void tarjan(int x) {
int flag = 0;
dfn[x] = low[x] = ++sum;
for (unsigned i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
int y = G[x][i];
if (!dfn[y]) {
tarjan(y);
low[x] = min(low[y], low[x]);
if (low[y] >= dfn[x]) {
++flag;
if (x != root || flag > 1) iscut[x] = 1;
}
} else {
low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
}
}
int main() {
int x, y;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
cin >> x >> y;
G[x].push_back(y);
G[y].push_back(x);
}
for ( int i = 1; i <= n; ++i) {
if (!dfn[i]) {
root = i;
tarjan(i);
}
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (iscut[i]) ++ans;
}
cout << ans << endl;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (iscut[i]) cout << i << " ";
}
cout << endl;
return 0;
}
桥
定义
假设有连通图\(G=\{V,E\}\)，\(e\)是其中一条边（即\(e \in E\)），如果\(G-e\)是不连通的，则边\(e\)是图\(G\)的一条割边（桥）。
比如说，下图中，
红色箭头指向的就是割边。
tarjan求割边
和割点差不多，当存在边\((x,y) \in E\)时，满足：$$dfn[x] < low[y]$$时，边\((x,y)\)是一条割边。
代码实现
下面代码实现了求割边，其中，当isbridge[x]为真时，\((father[x],x)\)为一条割边。
int low[MAXN], dfn[MAXN], iscut[MAXN], dfs_clock;
bool isbridge[MAXN];
vector<int> G[MAXN];
int cnt_bridge;
int father[MAXN];
void tarjan(int u, int fa) {
father[u] = fa;
low[u] = dfn[u] = ++dfs_clock;
for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
int v = G[u][i];
if(!dfn[v]) {
tarjan(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if(low[v] > dfn[u]) {
isbridge[v]=true;
++cnt_bridge;
}
} else if(dfn[v] < dfn[u] && v != fa) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
}
关于前向星（链式邻接表）
前向星的定义
一种数据结构，以储存边的方式来存储图。其优势有方便标记某一条边。
为什么要提前向星
本文中已经避免使用前向星，但网上绝大部分博客都使用提前向星。
下面不是前向星的教程（请自行百度），但可以帮助理解前向星。
理解前向星
1.遍历边
for (int i = head[x]; i; i = nxt[u]) {
int y = to[i], w = weight[i];
//code
}
相当于：
for (unsigned i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
int y = G[x][i].x, w = G[x][i].w;
// code
}
2.相反边
i和i ^ 1互为反向边的编号。
邻接表要处理这种查询，可以新加一个变量记录：
struct node {
int x, w; //original codes
int partner;
};
在建边时，加上：
int x, y, w;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
cin >> x >> y >> w;
G[x].push_back((node) {y, w, G[y].size()});
G[y].push_back((node) {x, w, G[x].size() - 1});
}
需要时，G[x][i]的反向边是G[G[x][i].x][G[x][i].partner]
效率问题
容易看出，前向星的空间效率的常数比邻接表大。时间复杂度上理论相等，但因为vector的常数大，时间常数比较大。
tarjan的复杂度
和模板没有区别，时间是\(O(n+m)\)，空间\(O(n+m)\)(要存图)
关于割点与桥的其他问题
定理？猜想？
可能会发现，割点与桥有如下性质:
(1) 两个割点之间的边是割边。
(2) 割边连接的点是有割点。
（1）这在很多情况上是正确无误的，但有反例，如：
（2）除了两点一边的情况，是正确的。
证明嘛：略
练习题
P3388 【模板】割点（割顶）
模板题，割点。
POJ2117 Electricity
割点。
HDU4738 Caocao's Bridges
割边，不需要记录割边，tarjan时直接记录答案。
像这样：
low[u] = min(low[u],low[v]);
if (low[v] > dfn[u]) {
ans = min(ans, G[v][i].w);
}
HDU2460 Network
割边 + LCA（暴力可以）
POJ1523 SPF
割点 + dfs。
@2019-11-21 广州市第二中学科技城校区
