具体数学-第3课（递归式转化为求和求解）

今天讲了一种将递归式转化为求和的方法。

考虑如下递归式：

$$a_n{T}_n=b_n{T}_{n-1}+c_n$$

两边同时乘以$s_n$得到：

$$s_n{a}_n{T}_n=s_n{b}_n{T}_{n-1}+s_n{c}_n$$

要想转化成可以求和的递归式，那么必须有：

$$s_n{b}_n=s_{n-1}{a}_{n-1}$$

也就是：

$$s_n=\frac{a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_1}{b_n{b}_{n-1}\cdots b_2}$$

这时令

$$S_n=s_n{a}_n{T}_n$$

得到：

$$S_n=S_{n-1}+s_n{c}_n$$

这时就可以转化为求和了，解出：

$$S_n=s_0{a}_0{T}_0+\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k$$

所以

$$T_n=\frac{1}{s_n{a}_n}(s_0{a}_0{T}_0+\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k)$$

例题1

设$n$个数快速排序的操作次数为$C_n$，那么有

$$\begin{array}{l}{C}_0=0\\ C_n=n+1+\frac{2}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{C}_k,n>0\end{array}$$

用$n-1$取代$n$可以得到

$$C_{n-1}=n+\frac{2}{n-1}\sum _{k=0}^{n-2}{C}_k,n>1$$

两式相减可以得到

$$\begin{array}{l}{C}_0=0\\ n{C}_n=(n+1)C_{n-1}+2n,n>0\end{array}$$

由上面方法可以得到

$$a_n=n,b_n=n+1,c_n=2n$$

所以

$$s_n=\frac{2}{n(n+1)}$$

进而可以求出

$$C_n=2(n+1)\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}$$

这里介绍一个概念叫做调和级数：

$$H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$

所以

$$C_n=2(n+1)H_n-2n$$

求和三大定律

结合律、分配率、交换律。这里就不展开说了，相信你们都知道的。
来两题简单的例题说明一下。

例题2

求

$$S=\sum _{0\le k\le n}(a+bk)$$

普通的方法每个人应该都会，等差数列嘛。这里用求和定律来做一做。
用$n-k$取代$k$，得到

$$S=\sum _{0\le n-k\le n}(a+b(n-k))$$

即

$$S=\sum _{0\le k\le n}(a+b(n-k))$$

两式相加得到

$$2S=\sum _{0\le k\le n}(2a+bn)=(2a+bn)\sum _{0\le k\le n}1=(2a+bn)(n+1)$$

所以

$$S=(2a+bn)(n+1)/2$$

例题3

求

$$S=\sum _{0\le k\le n}k{x}^k$$

这里用到另一种求和的方法。
两边同时加上第$n+1$项，得到

$$\begin{array}{l}S+(n+1)x^{n+1}\\ =\sum _{0\le k\le n+1}k{x}^k\\ =\sum _{1\le k\le n+1}k{x}^k\\ =\sum _{0\le k\le n}(k+1)x^{k+1}\\ =x\sum _{0\le k\le n}(k{x}^k+x^k)\\ =xS+x\sum _{0\le k\le n}{x}^k\\ =xS+x\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\end{array}$$

所以

$$S=\frac{x-(n+1)x^{n+1}+n{x}^{n+2}}{{(1-x)}^2}$$

这里介绍另一种方法来求解。
令

$$f(x)=\sum _{0\le k\le n}{x}^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$

求导得到

$$f^{\prime }(x)=\sum _{0\le k\le n}k{x}^{k-1}=\frac{1}{x}S$$

所以

$$\frac{1}{x}S=\frac{\partial f}{\partial x}(\frac{1-x^{n+1}}{1-x})=\frac{1-(n+1)x^n+n{x}^{n+1}}{{(1-x)}^2}$$

同样可以得到

$$S=\frac{x-(n+1)x^{n+1}+n{x}^{n+2}}{{(1-x)}^2}$$