具体数学-第2课（成套方法求解递归式）

约瑟夫环推广

上一节课说到，约瑟夫环问题的解是

$$f(n)=2l+1$$

其中$n=2^m+l$
将$n$写成二进制可以发现，$f(n)$就是$n$的二进制循环左移1位。
现在做一下推广，求解如下递推式：

$$\begin{array}{l}f(1)=\alpha \\ f(2n)=2f(n)+\beta \\ f(2n+1)=2f(n)+\gamma \end{array}$$

可以设

$$f(n)=A(n)\alpha +B(n)\beta +C(n)\gamma$$

同样，令$n=2^m+l$
可以解出

$$\begin{array}{l}A(n)=2^m\\ B(n)=2^m-1-l\\ C(n)=l\end{array}$$

再从二进制角度理解一下，将递推式继续推广：

$$\begin{array}{l}f(j)={\alpha }_j,1\le j<d\\ f(dn+j)=cf(n)+{\beta }_j,0\le j\le d,n\ge 1\end{array}$$

可以得到解为

$$f((b_m{b}_{m-1}\dots b_1{b}_0{)}_d)=({\alpha }_{b_m}{\beta }_{b_{m-1}}{\beta }_{b_{m-2}}\dots {\beta }_{b_1}{\beta }_{b_0}{)}_c$$

递推式求和

求解如下递推式：

$$\begin{array}{l}{R}_0=\alpha \\ R_n=R_{n-1}+\beta n+\gamma \end{array}$$

用成套方法求解，设

$$R_n=A(n)\alpha +B(n)\beta +C(n)\gamma$$

首先令$R_n=1$，可以得到$\alpha =1,\beta =0,\gamma =0$，所以$A(n)=1$。
再令$R_n=n$，可以得到$\alpha =0,\beta =0,\gamma =1$，所以$C(n)=n$。
最后令$R_n=n^2$，可以得到$\alpha =0,\beta =2,\gamma =-1$，所以$2B(n)-C(n)=n^2$，所以$B(n)=(n^2+n)/2$

再来一个更复杂的递推式：

$$\begin{array}{l}{R}_0=\alpha \\ R_n=2R_{n-1}+\beta n+\gamma \end{array}$$

同样的方法，设

$$R_n=A(n)\alpha +B(n)\beta +C(n)\gamma$$

首先令 $R_n=1$，可以得到 $\alpha =1,\beta =0,\gamma =-1$，所以 $A(n)-C(n)=1$。
再令 $R_n=n$，可以得到 $\alpha =0,\beta =-1,\gamma =2$，所以 $2C(n)-B(n)=n$ 。
这时候能不能令 $R_n=n^2$ 呢？答案是不能，因为如果$R_n=n^2$，那么

$$n^2=2(n-1{)}^2+\beta n+\gamma$$

显然不可能成立。
观察系数，可以令$R_n=2^n$，可以得到$\alpha =1,\beta =0,\gamma =0$，所以$A(n)=2^n$。
所以

$$A(n)=2^n,B(n)=2^{n+1}-n+2,C(n)=2^n+1$$