具体数学-第2课（成套方法求解递归式）

约瑟夫环推广

上一节课说到，约瑟夫环问题的解是

\[f(n) = 2l + 1 \]

其中\(n = {2^m} + l\)
将\(n\)写成二进制可以发现，\(f(n)\)就是\(n\)的二进制循环左移1位。
现在做一下推广，求解如下递推式：

\[\begin{array}{l}f(1) = \alpha \\f(2n) = 2f(n) + \beta \\f(2n + 1) = 2f(n) + \gamma \end{array} \]

可以设

\[f(n) = A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma \]

同样，令\(n = {2^m} + l\)
可以解出

\[\begin{array}{l}A(n) = {2^m}\\B(n) = {2^m} - 1 - l\\C(n) = l\end{array} \]

再从二进制角度理解一下，将递推式继续推广：

\[\begin{array}{l}f(j) = {\alpha _j},1 \le j < d\\f(dn + j) = cf(n) + {\beta _j},0 \le j \le d,n \ge 1\end{array} \]

可以得到解为

\[f({({b_m}{b_{m - 1}} \ldots {b_1}{b_0})_d}) = {({\alpha _{ {b_m}}}{\beta _{ {b_{m - 1}}}}{\beta _{ {b_{m - 2}}}} \ldots {\beta _{ {b_1}}}{\beta _{ {b_0}}})_c} \]

递推式求和

求解如下递推式：

\[\begin{array}{l}{R_0} = \alpha \\{R_n} = {R_{n - 1}} + \beta n + \gamma \end{array} \]

用成套方法求解，设

\[{R_n} = A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma \]

首先令\({R_n} = 1\)，可以得到\(\alpha = 1,\beta = 0,\gamma = 0\)，所以\(A(n) = 1\)。
再令\({R_n} = n\)，可以得到\(\alpha = 0,\beta = 0,\gamma = 1\)，所以\(C(n) = n\)。
最后令\({R_n} = {n^2}\)，可以得到\(\alpha = 0,\beta = 2,\gamma = - 1\)，所以\(2B(n) - C(n) = {n^2}\)，所以\(B(n) = ({n^2} + n)/2\)

再来一个更复杂的递推式：

\[\begin{array}{l}{R_0} = \alpha \\{R_n} = 2{R_{n - 1}} + \beta n + \gamma \end{array} \]

同样的方法，设

\[{R_n} = A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma \]

首先令 \({R_n} = 1\)，可以得到 \(\alpha = 1,\beta = 0,\gamma = -1\)，所以 \(A(n) - C(n) = 1\)。
再令 \({R_n} = n\)，可以得到 \(\alpha = 0,\beta = -1,\gamma = 2\)，所以 \(2C(n) - B(n) = n\) 。
这时候能不能令 \({R_n} = {n^2}\) 呢？答案是不能，因为如果\({R_n} = {n^2}\)，那么

\[{n^2} = 2{(n - 1)^2} + \beta n + \gamma \]

显然不可能成立。
观察系数，可以令\({R_n} = 2^n\)，可以得到\(\alpha = 1,\beta = 0,\gamma = 0\)，所以\(A(n) = 2^n\)。
所以

\[A(n) = {2^n},B(n) = {2^{n + 1}} - n + 2,C(n) = {2^n} + 1 \]