最小生成树之普里姆与克里斯特尔算法

最小生成树是经过无向连通带权图进行转换生成的，在一开始，先了解下图这个数据结构及相关概念。
图可用二元组表示，G(V,E)，其中V表示顶点的非空有限集合，E表示边的有限集合。

有向图与无向图

以下图G1则为有向图，G2为无向图，G1中每条边都是有方向的，在有向图中<1,2>、<2,1>是不同的两个方向边，无向图则代表同一边。

连通、连通图、连通分量

连通：在无向图中，若从顶点Vi到顶点Vj之间有路径，则这两个顶点是连通的。
连通图：如果图中任意一对顶点是连通的则为连通图。
连通分量，非连通图的每一个连通部分叫做连通分量，连通图的连通分量就是其本身。

带权图

每条边都有其在特定场景下的值，比如长度，比如粗细等，具体的实例有供水管网中的管道长度，网络建设中的阻抗等。

生成树

一个连通图G的子图如果是一个包含了G的所有顶点的树，则该子图为G的生成树，有两种算法可以得到生成树，一种是深度优先搜索算法，一种是广度优先搜索算法，深度优先得到的生成树为DFS生成树，广度优先为BFS生成树。具体可以参考深度优先与广度优先算法

最小生成树

最小生成树是生成树的一种特例，‘最小’指的是生成树所有的边加起来的权值最小，所以最小生成树是在带权图中生成的。

最小生成树之普里姆Prim算法

算法思想：创建并扩展一棵树，为它添加新的树枝
算法核心：设U为最小生成树的顶点集，V为图G的顶点集合，目的是让U中的顶点与V-U中的顶点结合找到一条最短边来扩充生成树T
算法步骤说明：
下图为我构造的一个无向连通带权图G，有6个顶点，8条边
vertexs = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']
edges = [('A', 'B', 2),('A', 'C', 1),('A', 'D', 5),('B', 'D', 4),('C', 'E', 3),('C', 'F', 4),('D', 'E', 2),('E', 'F', 7)] // 第三个数值为边的权值

通过普里姆算法思想，下图说明了创建并扩展一棵树的过程。

整个构建的过程为，初始所构建的最小生成树为空，只有一个顶点A，然后在已有图G中的所有边中进行查找，查找A顶点相关的边，且此边的权值最小，于是找到了（'A'，'C'，1），将（'A'，'C'，1）的边与C顶点加入到最小生成树，继续往下找，现在最小生成树中已经有了顶点A，C，边（'A','C',1），于是再进行一次循环，查找图G中所有边中，与顶点A，C形成的边的权值最小，经过比较，发现（'A','B',2）满足，于是将（'A','B',2）与顶点B加入最小生成树，然后继续往下找，直到将图G中的所有顶点都加入到最小生成树中，则查找结束。为此我们整个查找过程就需要图G顶点的个数减1次的循环，因此初始顶点A已经加入最小生成树中，于是只需要顶点个数减1次查找次数即可。
以下是普里姆算法的Python代码：

# 构建一个树
# 入选顶点集与入选边集
tree_vertex = ['A']
tree_edges = []

for i in range(len(vertex) - 1):
    # 最小权值的边
    mini_weight = ()
    for edge in edges:
        # 如果边中有两个顶点在入选顶点集中，则此条边需要忽略
        if edge[0] in tree_vertex and edge[1] in tree_vertex:
            continue
        # 如果边有一个顶点在入选顶点集中，则此条边需要进行比较权值
        if edge[0] in tree_vertex or edge[1] in tree_vertex:
            if not mini_weight:
                mini_weight = edge
            elif mini_weight[2] > edge[2]:
                mini_weight = edge
    # 将边和点添加进最小生成树
    tree_edges.append(mini_weight)
    if mini_weight[0] not in tree_vertex:
        tree_vertex.append(mini_weight[0])
    if mini_weight[1] not in tree_vertex:
        tree_vertex.append(mini_weight[1])
 
print(tree_edges)  # [('A', 'C', 1), ('A', 'B', 2), ('C', 'E', 3), ('D', 'E', 2), ('C', 'F', 4)]
print(tree_vertex)  # ['A', 'C', 'B', 'E', 'D', 'F']

简化查找，将边按照权值排序

点击查看代码

for i in range(0, len(vertex) - 1):
    for edge in edges:
        # 形成回路,抛弃这条边
        if edge[0] in tree_vertex and edge[1] in tree_vertex:
            continue
        # 边中包含入选顶点,并且此条边为最小权值
        if edge[0] in tree_vertex or edge[1] in tree_vertex:
            tree_edges.append(edge)
            if edge[0] in tree_vertex:
                tree_vertex.append(edge[1])
            elif edge[1] in tree_vertex:
                tree_vertex.append(edge[0])
            break
print(tree_edges)  # [('A', 'C', 1), ('A', 'B', 2), ('C', 'E', 3), ('D', 'E', 2), ('C', 'F', 4)]
print(tree_vertex)  # ['A', 'C', 'B', 'E', 'D', 'F']

最小生成树之克鲁斯卡尔Kruskal算法

算法思想：扩展一棵树的集，并构成一棵生成树
算法核心：设U为最小生成树的顶点集，V为图G的顶点集合，目的是让U中的顶点与V-U中的顶点结合找到一条最短边来扩充生成树T
算法步骤说明：
继续使用上图的无向连通带权图G来进行说明：

整个构建的过程为，初始所构建的最小生成树包含了图G的所有顶点，选中某一顶点（假设为A），然后在已有图G中的所有边（经过了按权值排序）中进行查找，查找A顶点相关的边，且此边的不构成环路，于是找到了（'A'，'C'，1），将（'A'，'C'，1）的边加入到最小生成树，继续往下找，再进行一次循环，找到（'A','B',2），发现（'A','B',2）与最小生成树中的边，并未构成环路，于是加入，继续往下找，直到最小生成树中的所有顶点都在一个连通分量中，则查找结束。
以下是克鲁斯卡尔算法的Python代码：

点击查看代码

vertexs = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']
edges = [('A', 'C', 1), ('A', 'B', 2), ('D', 'E', 2), ('C', 'E', 3), ('B', 'D', 4), ('C', 'F', 4), ('A', 'D', 5),
         ('E', 'F', 7)]

# 最小生成树
tree_edges = []
# 顶点的标记,初始顶点的标记都不相同
vertexs_sign = {'A': 1, 'B': 2, 'C': 3, 'D': 4, 'E': 5, 'F': 6}

for edge in edges:
    # 判断edge与最小生成树中的边是否构成环
    if vertexs_sign[edge[0]] == vertexs_sign[edge[1]]:
        # 形成了环，忽略此条边
        continue
    if vertexs_sign[edge[0]] != vertexs_sign[edge[1]]:
        tree_edges.append(edge)
        # 将加入的边的顶点的相同标记的顶点都设置为一样
        temp = vertexs_sign[edge[0]]
        for key in vertexs_sign:
            if vertexs_sign[key] == temp:
                vertexs_sign[key] = vertexs_sign[edge[1]]
        print(vertexs_sign)
    if len(tree_edges) == len(vertexs) - 1:
        break
print(tree_edges)  # [('A', 'C', 1), ('A', 'B', 2), ('D', 'E', 2), ('C', 'E', 3), ('C', 'F', 4)]
print(vertexs_sign)  # {'A': 6, 'B': 6, 'C': 6, 'D': 6, 'E': 6, 'F': 6}

总结

1、图是一种相较于树的数据结构，图分为有向图与无向图，分为连通图与非连通图，分为带权图与不带权图
2、图G的一个包含所有顶点的连通子图则为图G的生成树，带权图的权值加起来最小则为最小生成树
3、最小生成树有两种算法，Prim（普利姆）算法与Kruskal（克鲁斯卡尔）算法，为了更加方便实现算法，将图的边集进行按权值排序，可以更快生成最小生成树