1412 AVL树的种类

Problem

平衡二叉树(AVL树），是指左右子树高度差至多为1的二叉树，并且该树的左右两个子树也均为AVL树。 现在问题来了，给定AVL树的节点个数n，求有多少种形态的AVL树恰好有n个节点。

Solution

f[n][h]代表n个节点，高度为h的AVL树的种数。

f[n][h]=f[n-i-1][h-1]×f[i][h-1]+2×f[n-i-1][h-2]×f[i][h-1] 0<=k<n

左右子树都是h-1层，或者左右子树一个是h-1层，一个是h-2层，由于不对称要×2。

Code

#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod=1000000007;
int n;
ll f[2020][22],ans;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	f[0][0]=1;
	f[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=20;i++){
		for(int j=2;j<=n;j++){
			for(int k=0;k<j;k++){
				f[j][i]=(f[j][i]+f[j-1-k][i-1]*f[k][i-1])%mod;
				f[j][i]=(f[j][i]+2*f[j-1-k][i-2]*f[k][i-1])%mod;
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=20;i++){
		ans=(ans+f[n][i])%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}