归并排序 && 51Nod1019逆序数 && 最小的交换

一、归并排序

　　递归思路，将一个序列二分，使前半段有序，使后半段有序，然后使用双指针扫一遍使整段有序。

　　对于n个元素，每个元素都在排序1个元素，2个元素，4个元素，8个元素......的时候出现，因此复杂度是O(nlogn)。

二、求逆序数

　　在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。给出一个整数序列，求该序列的逆序数。

 

输入

第1行：N，N为序列的长度（n <= 50000)
第2 - N + 1行：序列中的元素（0 <= A[i] <= 10^9）

输出

输出逆序数

输入样例

4
2
4
3
1

输出样例

4

思路

考虑在每次归并两个有序序列的过程中，我们会将后面一个有序序列的部分元素前移，那么从后向前中间超越的元素与它成为一个逆序对，代码中为当前总位置j减去已经被分配的比它小的元素k，即超越的元素数。　

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[50020],b[50020];
int n;
long long merge(int low,int mid,int high){
    int i=low,j=mid+1,k=low;
    long long count=0;
    while(i<=mid&&j<=high){
        if(a[i]<=a[j]){
            b[k++]=a[i++];
        }
        else{
            b[k++]=a[j++];
            count+=j-k;
        }
    }
    while(i<=mid){
        b[k++]=a[i++];
    }
    while(j<=high){
        b[k++]=a[j++];
    }
    for(i=low;i<=high;i++){
        a[i]=b[i];
    }
    return count;
}
long long mergeSort(int x,int y){
    
    if(x<y){
        int mid=(x+y)/2;
        long long count=0;
        count+=mergeSort(x,mid);
        count+=mergeSort(mid+1,y);
        count+=merge(x,mid,y);
        return count;
    }
    return 0;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    cout<<mergeSort(0,n-1);
    return 0;
}

 三、最小的交换

只能相邻元素交换，求让序列升序的最小交换次数。

 

我们不可避免的让大数向后交换，那么我们考虑最大的一个数，让其向后交换，肯定会交换到最后一位，交换的次数为后面比它小的数的个数，即包含它且它更大的逆序对数，再把次小的元素向后移动......最后的移动次数即为逆序对数。

代码同上