CF436E - Cardboard Box 题解

只讲贪心做法。

一、反悔贪心

考虑如何使选的星星总数多一。显然，有如下几种方式：

• 选一个之前没选过的位置 $i$，答案加上 $a_i$。

• 选一个之前选过一次的位置 $i$，答案加上 $b_i-a_i$。

• 对于一个之前选过一次的位置 $i$，再找到一个没有选过的位置 $j$，反悔掉 $i$，并选两次 $j$，答案加上 $b_j-a_i$。

• 对于一个之前选过两次的位置 $i$，再找到一个没有选过的位置 $j$，反悔掉 $i$ 的第二次选择，并选两次 $j$，答案加上 $b_j-(b_i-a_i)=b_j-b_i+a_i$。

总结一下，我们需要分别维护 $a_i,b_i,-a_i,a_i-b_i,b_i-a_i$ 的最值，使用五个堆即可。但是每个策略可能会对多个堆进行修改，比较复杂，不推荐。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

二、直接贪心

考虑每次选两个星星，那么我们需要权衡的是选 $a_i+a_j$ 还是 $b_i$。

定义：$2$ 物品表示根据以上选择方式，一次用掉 $b_i$，对答案贡献为 $2$ 的物品，剩下的都是 $1$ 物品（如果其 $b=2$，会分成 $a$ 和 $b-a$ 两次选）。

开两个堆，存储 $1$ 物品和 $2$ 物品，然后每轮选择进行如下过程：

• 记录每个数是作为 $2$ 物品被扔掉还是 $1$ 物品。然后对于每个堆，把所有不合法的扔掉。

• 取出 $1$ 堆的最小值和次小值 $a_{mn},a_{se}$ 和 $2$ 堆的最小值 $b_{mn}$（若不存在视为 $+\mathrm{\infty }$）。

• 若 $a_{mn}+a_{se}\le b_{mn}$：记录下每个数被选的次数，令 $a_{mn},a_{se}$ 对应的 $cnt\to cnt+1$，并标记为作为 $1$ 物品使用。若此时 $cnt=1$，说明选择的是 $a$，再将 $b-a$ 扔进去。然后把 $b_{mn}$ 扔回去（如果是 $+\mathrm{\infty }$，忽略）。

• 否则：使用 $b_{mn}$，设置其 $cnt=2$，作为 $2$ 物品被使用。然后将 $a_{mn},a_{se}$ 塞回去。

这样选择方案就输出 $cnt$ 即可。

但是这样做有一个问题：如果 $w$ 是奇数怎么办。此时我们可以加入一个值和编号都为 $0$ 的 $1$ 物品进去，并标记 $cnt=1$，这样它就只会被用一次。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

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