【QBXT 2023 冬】NOIP 突破营 补题清单

题单：

第一部分

第二部分

题解有时间就写，一般会咕。

P5691 [NOI2001] 方程的解数

简单的折半搜索。

直接搜索时间复杂度是 \(O(m^6)-O(m^6\log p_i)\) 的（快速幂），无法通过。

考虑优化，首先我们对上面的式子做一个变形：

\[\sum_{i=1}^{n}k_ix_i^{p_i}=0 \]

即

\[\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}k_ix_i^{p_i}+\sum_{i=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}^{n}k_ix_i^{p_i}=0 \]

即

\[-\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}k_ix_i^{p_i}=\sum_{i=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}^{n}k_ix_i^{p_i} \]

那么我们只需要对 \([1,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor]\) 和 \([\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1,n]\) 两段分别进行搜索即可。考虑到每种方案所选的未知数都不同，所以搜出几个数就存在几种方案。

时间复杂度 \(O(m^3\log p_i)\)，可以通过。

优化：此题不卡模数，将 map 更换为 unordered_map 并预处理幂次就可以去掉那一只 \(\log\)。

代码（不带优化）：

#include<bits/stdc++.h>
//#pragma GCC optimize("Ofast")
#define gt getchar
#define pt putchar
#define y1 y233
typedef long long ll;
//typedef __int128 lll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=15;
using namespace std;
inline bool __(char ch){return ch>=48&&ch<=57;}
inline int read(){
   	int x=0;bool sgn=0;char ch=gt();
   	while(!__(ch)&&ch!=EOF){sgn|=(ch=='-');ch=gt();}
   	while(__(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);ch=gt();}
	return sgn?-x:x;
}
template<class T>
inline void print(T x){
	static char st[70];short top=0;
	if(x<0)pt('-');
    do{st[++top]=x>=0?(x%10+48):(-(x%10)+48),x/=10;}while(x);
    while(top)pt(st[top--]);
}
template<class T>
inline void printsp(T x){
	static char st[70];short top=0;
	if(x<0)pt('-');
    do{st[++top]=x>=0?(x%10+48):(-(x%10)+48),x/=10;}while(x);
    while(top)pt(st[top--]);pt(32);
}
template<class T>
inline void println(T x){
	static char st[70];short top=0;
	if(x<0)pt('-');
    do{st[++top]=x>=0?(x%10+48):(-(x%10)+48),x/=10;}while(x);
    while(top)pt(st[top--]);pt(10);
}
inline void put_str(string s){
	int siz=s.size();
	for(int i=0;i<siz;++i) pt(s[i]);
	printf("\n");
}
int n,m,k[N],p[N],ans;
unordered_map<int,int>mp;
inline int power(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)res*=a;
		a*=a,b>>=1;
	}
	return res;
}
void dfs1(int x,int sum){
	// 1 to [n/2]
	if(x>n/2){
		mp[sum]++;
		return; 
	}
	for(int i=1;i<=m;++i) dfs1(x+1,sum+k[x]*power(i,p[x]));
}
void dfs2(int x,int sum){
	// [n/2+1] to n
	if(x>n){
		ans+=mp[-sum];
		return; 
	}
	for(int i=1;i<=m;++i) dfs2(x+1,sum+k[x]*power(i,p[x]));
}
signed main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) k[i]=read(),p[i]=read();
	dfs1(1,0);
	dfs2(n/2+1,0);
	println(ans);
	return 0;
}

P1763 埃及分数

P1379 八数码难题

one - 模拟赛 D1T1

two - 模拟赛 D1T2

three - 模拟赛 D1T3

four - 模拟赛 D1T4

P3195 [HNOI2008]玩具装箱

很好的一道题。

首先考虑暴力 dp。

设：\(dp_i\) 表示考虑前 \(i\) 个元素所能获得的最小费用。

转移：考虑枚举 \(i\) 上一个区间的右端点，得

\[dp_i=\min_{j=0}^{i-1}dp_j+(i-j-1+\sum_{k=j+1}^{i}a_k-L)^2 \]

注：这里用 \(a\) 数组来代替原题中的 \(c\) 数组。

这样朴素实现是 \(O(n^3)\) 的，使用前缀和优化即可做到 \(O(n^2)\)，可以获得 \(70\) 分。

考虑优化，首先我们来推一下式子：

\[dp_i=\min_{j=0}^{i-1}dp_j+(i-j-1+\sum_{k=j+1}^{i}a_k-L)^2 \]

记 \(sum_i=\sum_{j=1}^{i}a_j\)，得：

\[dp_i=\min_{j=0}^{i-1}dp_j+(i-j-1+sum_i-sum_j-L)^2 \]

实际算的时候这样就可以了，但是为了发掘更多的性质，我们还要继续推：

记 \(q_i=sum_i+i\)，得：

\[dp_i=\min_{j=0}^{i-1}dp_j+[q_i-q_j-(L+1)]^2 \]

展开，得：

\[dp_i=\min_{j=0}^{i-1}dp_j+q_i^2-2q_iL-2q_i+(L+1)^2-2q_iq_j+q_j^2+2q_jL+2q_j \]

容易发现前面的一大堆都与 \(j\) 无关，我们令 \(K=q_i^2-2q_iL-2q_i+(L+1)^2\)，然后提出来：

\[dp_i=K+\min_{j=0}^{i-1}dp_j-2q_iq_j+q_j^2+2q_jL+2q_j \]

令 \(k_j=-2q_j,x=q_i-L-1,b_j=dp_j+q_j^2\)，得：

\[dp_i=K+\min_{j=0}^{i-1}k_jx+b_j \]

类似的，这个式子还可以转换为斜率优化的标准形式，然后维护凸包之类的东西。但是由于我不会斜率优化，这里就先不讲了。/kk

观察上面的式子，首先 \(K\) 是统一加上的，不用管，而剩下的就是 \(y=kx+b\) 的标准一元一次函数形式。

容易发现其实我们要求的是 \(y\)，所以实际上就是求 \(x=q_i-L-1\) 这条线与若干条（实际上有 \(i\) 条）形如 \(y=k_jx+b_j\) 的直线的交点的纵坐标最小值。

然后我们就可以直接维护半平面交了。但是我还是不会，所以不会讲。

继续观察式子：由于 \(a_i\) 和 \(i\) 都大于 \(0\)，所以 \(q_i\) 单调递增。再代入原式，得 \(k_j<0\) 且 \(k_j\) 单调递减，\(x\) 递增。

\(k_j<0\) 且单调递减带来一个很好的性质是，编号更大的直线一定比更小的直线斜率更大。

由于我们并不想求凸包或者半平面交，因此我们考虑使用二分栈。

记 \(z_i\) 表示 \(dp_i\) 的最优转移点，那么有一个很重要的性质：\(z_i\) 单调不降。

考虑证明，我们使用 GeoGebra 画图：

（其实我不太会用这个东西）

如图，蓝线为 \(i\)，绿线为 \(j\)（编号），交点为 \(A\)，且 \(j<i\)。

由于我们要求的是纵坐标最小值，那么容易发现横坐标在 \(A\) 左边时 \(j\) 更优，而在右边时 \(i\) 更优。由于横坐标 \(x=q_i-L-1\) 递增，所以 \(A\) 左侧的编号也必然小于其右侧的编号，也就证明了 \(z\) 单调不降。

这个时候我们发现 \(z\) 满足单调性，自然就可以二分了。

初始默认最优转移点 \(z=0\)，然后就可以发现，每算出一个 \(dp_i\)，就会更新 \(z\) 的一段后缀（单调不降）。因此我们可以用一个栈来维护这些最优转移点所管辖的区间。

具体地，在计算 \(dp_i\) 时，首先将栈内所有 \(r<i\) 的最优转移点弹出，因为它们已经失去了价值。其实只需要弹出一次，因为更前面的决策点已经被 \([1,i-1]\) 中的点弹出了。此时再用栈顶的最优决策点来更新 \(dp_i\) 的值。

现在我们需要用 \(dp_i\) 来更新最优决策点。由于是后缀，所以我们从栈底开始，暴力删除更劣的决策点区间（当前决策点所计算出来的区间左端点的 \(dp\) 值比原来更优）。记删完后 \(i\) 前面的区间为 \(lst\)，此时仍然有两种情况：

  • \(i\) 将所有决策点都删掉了，或者 \(i\) 计算出来的 \(lst\) 右端点的决策值不如原本 \(lst\) 计算出来的优（\(lst\) 不会改变）。此时仍然细分成两种情况：

    \(1.\) \(i\) 没有删掉任何一个决策点，此时直接退出（单调不降不意味着每个数都能成为最优决策点）。

    \(2.\) 否则，直接将 \(i\) 插入到 \(lst\) 后面，即栈底即可。管辖区间为 \([lst.r+1,n]\)。

  • \(i\) 计算的右端点值比原本 \(lst\) 计算出来的值更优。此时虽然不会删除 \(lst\) 全部（否则已经删了），但是会删除 \(lst\) 的一部分。记这部分为 \([x,lst.r]\)，那么显然 \([lst.l,x-1]\) 这一段都是 \(lst\) 更优。\(x\) 显然可以通过二分查找求出，那么只需要覆盖 \([x,n]\) 这一段后缀即可。

下面我们来计算时间复杂度：

  • 对于每个决策点，其最多入栈出栈一次，时间复杂度 \(O(n)\)。

  • 每个决策点更新后缀的时候需要二分，决策点数量为 \(n\)，二分次数是 \(\log n\) 的级别，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

这也解释了为什么暴力删除复杂度是对的。

这样的话时间复杂度就是 \(O(n\log n)\)，可以通过。虽然比斜率优化之类的 \(O(n)\) 差一些，但也很不错了。

UPD：二分栈的操作和队列是一样的，但是名字就叫二分栈（不太能理解给这个数据结构取名字的人）。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
//#pragma GCC optimize("Ofast")
#define gt getchar
#define pt putchar
#define y1 y233
#define int long long
typedef long long ll;
//typedef __int128 lll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=5e4+5;
using namespace std;
inline bool __(char ch){return ch>=48&&ch<=57;}
inline int read(){
   	int x=0;bool sgn=0;char ch=gt();
   	while(!__(ch)&&ch!=EOF){sgn|=(ch=='-');ch=gt();}
   	while(__(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);ch=gt();}
	return sgn?-x:x;
}
template<class T>
inline void print(T x){
	static char st[70];short top=0;
	if(x<0)pt('-');
    do{st[++top]=x>=0?(x%10+48):(-(x%10)+48),x/=10;}while(x);
    while(top)pt(st[top--]);
}
template<class T>
inline void printsp(T x){
	static char st[70];short top=0;
	if(x<0)pt('-');
    do{st[++top]=x>=0?(x%10+48):(-(x%10)+48),x/=10;}while(x);
    while(top)pt(st[top--]);pt(32);
}
template<class T>
inline void println(T x){
	static char st[70];short top=0;
	if(x<0)pt('-');
    do{st[++top]=x>=0?(x%10+48):(-(x%10)+48),x/=10;}while(x);
    while(top)pt(st[top--]);pt(10);
}
inline void put_str(string s){
	int siz=s.size();
	for(int i=0;i<siz;++i) pt(s[i]);
	printf("\n");
}
int n,a[N],L,sum[N],dp[N];
struct Node{
	int id,l,r;
	Node(int _id=0,int _l=0,int _r=0):id(_id),l(_l),r(_r){}
}stk[N];
int head=1,tail=0;
inline int calc(int l,int r){
	if(l>=r)return LONG_LONG_MAX;
	int qwq=sum[r]-sum[l]+r-l-(L+1);
	return dp[l]+qwq*qwq;
}
signed main(){
	n=read(),L=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	stk[++tail]=Node(0,1,n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(stk[head].r<i)head++;
		dp[i]=calc(stk[head].id,i);
		bool flag=0;
		while(calc(stk[tail].id,stk[tail].l)>=calc(i,stk[tail].l))tail--,flag=1;
		if(tail<head||calc(stk[tail].id,stk[tail].r)<calc(i,stk[tail].r)){
			if(!flag)continue;
			stk[tail+1]=Node(i,stk[tail].r+1,n),tail++;
		}else{
			int l=stk[tail].l,r=stk[tail].r,ans=0;
			while(l<=r){
				int mid=l+((r-l)>>1);
				if(calc(stk[tail].id,mid)>=calc(i,mid))ans=mid,r=mid-1;
				else l=mid+1;
			}
			stk[tail++].r=ans-1;
			stk[tail]=Node(i,ans,n);
		}
	}
	println(dp[n]);
	return 0;
}

P1040 [NOIP2003 提高组] 加分二叉树

P6419 [COCI2014-2015#1] Kamp

P3177 [HAOI2015] 树上染色

P2279 [HNOI2003]消防局的设立

posted @ 2024-02-28 15:26  Southern_Dynasty  阅读(11)  评论(0)  编辑  收藏  举报