ABC303 G 题解

区间 DP。

设 $f_{l,r}$ 表示只考虑 $[l,r]$，先手得分减后手得分的最大值（并不关心谁是先手谁是后手），区间长度 $len=r-l+1$。

然后对三种情况分别讨论：

• 使用操作一，此时取掉左/右端点的部分先手后手互换，对答案的贡献为 $max(a_l-f_{l+1,r},a_r-f_{l,r-1})$。

• 使用操作二，继续分讨：

  • $len\le B$：直接全部取走，贡献为 $(\sum _{i=l}^r{a}_i)-A$。
  • $len>B$：考虑将 $B$ 的长度分配给前缀和后缀，贡献为 $\underset{i=0}{\overset{B}{max}}(\sum _{i=l}^{l+i-1}{a}_i)+(\sum _{i=r-(B-i)+1}^r{a}_i)-A-f_{l+i,r-(B-i)}$。

• 操作三同理：

  • $len\le D$：直接全部取走，贡献为 $(\sum _{i=l}^r{a}_i)-C$。
  • $len>D$：考虑将 $D$ 的长度分配给前缀和后缀，贡献为 $\underset{i=0}{\overset{D}{max}}(\sum _{i=l}^{l+i-1}{a}_i)+(\sum _{i=r-(D-i)+1}^r{a}_i)-C-f_{l+i,r-(D-i)}$。

然后对上述贡献取 $max$ 就是 $f_{l,r}$ 的值。

用前缀和维护一下即可做到 $O(n^3)$。

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考虑优化。容易发现，此时操作一、操作二和操作三的第一种情况复杂度都是对的。只有操作二、操作三的第二种情况需要枚举长度，时间复杂度 $O(n)$。

考虑对 $len$ 相同的区间同时处理：记 $j=B-i$（$i$ 就是操作二转移方程里的，操作三同理），$s(l,r)$ 表示 $[l,r]$ 的区间和。转化一下转移方程：

$$\underset{i=0}{\overset{B}{max}}s(l,l+i-1)+s(r-j+1,r)-A-f_{l+i,r-j}$$

$$=\underset{i=0}{\overset{B}{max}}s(l,r)-s(l+i,r-j)-A-f_{l+i,r-j}$$

这个时候我们发现 $s(l,r)$ 和 $A$ 是定值。提出来，就变成了：

$$s(l,r)-A-\underset{i=0}{\overset{B}{min}}s(l+i,r-j)+f_{l+i,r-j}$$

现在考虑维护后面这坨东西。

容易发现，$[l+i,r-j]$ 这个区间的长度是不变的，都为 $len-B$。令 $g_i=f_{i,i+len-B-1}+s(i,i+len-B-1)$。此时发现方程就是

$$s(l,r)-A-\underset{i=l}{\overset{l+B}{min}}{g}_i$$

然后直接用 ST 表维护 $min{g}_i$ 即可。对于不同的 $len$ 直接重构即可。时间复杂度 $O(n^2\log n)$，可以通过此题。

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