P8867 [NOIP2022] 建造军营 题解

边双缩点，记 $E_i$ 表示 $i$ 号边双内部的边数，$V_i$ 为点数。

设 $f_{u,0/1}$ 表示 $u$ 子树内建/不建军营，且 $u$ 子树外点强制不选，$u\to fa$ 这条边强制不选，子树内建造的军营（如果有）通过被保护的边一定与 $u$ 相连的方案数。

初始有 $f_{u,0}=2^{E_u},f_{u,1}=2^{V_u+E_u}-2^{E_u}$。

考虑答案的统计：记 $s_u$ 表示 $u$ 子树内的 $E$ 和，那么 $u$ 对答案的贡献就是 $f_{u,1}\times 2^{s_1-s_u-1}$（不能不建军营，且 $u\to fa$ 强制不选）。注意特判 $u$ 为根节点的情况，此时贡献为 $f_{u,1}$。

显然 $s_u=E_u+\sum _{v\in son}(s_v+1)$。

接下来考虑转移，设当前儿子为 $v$。

对于 $f_{u,0}$ 来说，到 $v$ 的边选不选都行，所以贡献为 $2f_{v,0}$。最终把所有儿子的贡献和自己的初始值乘起来就是答案。

对于 $f_{u,1}$ 来说，采用树上背包的方式转移。有两种情况：

• 之前还没有选点

那么 $v$ 就必须选了，加上 $f_{u,0}\times f_{v,1}$。

• 之前已经选了

那么 $v$ 可选可不选，注意如果 $v$ 不选那么 $u\to v$ 也可以不选。加上 $f_{u,1}\times (2f_{v,0}+f_{v,1})$。

注意 $f_{u,1}$ 的转移需要用到 $f_{u,0}$，所以要先转移 $f_{u,1}$。

以上操作均可在 $O(n)$ 的时间复杂度内完成。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include<ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include<ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#define gt getchar
#define pt putchar
#define fst first
#define scd second
typedef long long ll;
const int N=5e5+5;
const int M=1e6+5;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef pair<int,int> pii;
inline bool __(char ch){return ch>=48&&ch<=57;}
template<class T> inline void read(T &x){
	x=0;bool sgn=0;char ch=gt();
	while(!__(ch)&&ch!=EOF) sgn|=(ch=='-'),ch=gt();
	while(__(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15),ch=gt();
	if(sgn) x=-x;
}
template<class T,class ...T1> inline void read(T &x,T1 &...x1){
	read(x);
	read(x1...);
}
template<class T> inline void print(T x){
	static char st[70];short top=0;
	if(x<0) pt('-');
 	do{st[++top]=x>=0?(x%10+48):(-(x%10)+48),x/=10;}while(x);
    while(top) pt(st[top--]);
}
template<class T> inline void printsp(T x){
	print(x);
	putchar(' ');
}
template<class T> inline void println(T x){
	print(x);
	putchar('\n');
}
int n,m,pw[N+M];
ll ans,f[N][2];
vector<int>g[N];
struct edge{
	int to,nxt;
}e[M<<1];
int head[N],cnt=1;
inline void add_edge(int f,int t){
	e[++cnt].to=t;
	e[cnt].nxt=head[f];
	head[f]=cnt;
}
inline void add_double(int f,int t){
	add_edge(f,t);
	add_edge(t,f);
}
int id[N],dfn[N],low[N],ti,cnt_dcc,E[N],V[N],s[N];
bool cut[M<<1];
void tarjan(int u,int from){
	dfn[u]=low[u]=++ti;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(i==(from^1)) continue;
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v,i);
			if(dfn[u]<low[v]) cut[i]=cut[i^1]=1;
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
}
void dfs(int u,int dcc_id){
	id[u]=dcc_id;
	V[dcc_id]++;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(id[v]||cut[i]) continue;
		dfs(v,dcc_id);
	}
}
void dfs_init(int u,int fa){
	s[u]=E[u];
	for(int v:g[u]){
		if(v==fa) continue;
		dfs_init(v,u);
		s[u]+=(s[v]+1);
	}
}
void dfs_dp(int u,int fa){
	for(int v:g[u]){
		if(v==fa) continue;
		dfs_dp(v,u);
		f[u][1]=(f[u][1]*(2*f[v][0]+f[v][1])%mod+f[u][0]*f[v][1]%mod)%mod;
		f[u][0]=(f[u][0]*2*f[v][0])%mod;
	}
	if(u!=1) ans=(ans+f[u][1]*pw[s[1]-s[u]-1])%mod;
	else ans=(ans+f[u][1])%mod;
}
signed main(){
	read(n,m);
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=n+m;++i) pw[i]=pw[i-1]*2%mod;
	for(int u,v,i=1;i<=m;++i){
		read(u,v);
		add_double(u,v);
	}
	tarjan(1,0);
	for(int i=1;i<=n;++i) if(!id[i]) dfs(i,++cnt_dcc);
	for(int u=1;u<=n;++u){
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].to;
			if(id[u]==id[v]) E[id[u]]++;
			else g[id[u]].emplace_back(id[v]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt_dcc;++i){
		E[i]>>=1;
		f[i][0]=pw[E[i]];
		f[i][1]=(pw[V[i]+E[i]]-pw[E[i]]+mod)%mod;
	}
	dfs_init(1,0);
	dfs_dp(1,0);
	println(ans);
	return 0;
}