随机乱作 part 6

1. CTSC2010 珠宝商

2. CF1718D Permutation for Burenka

3. CF1726G A Certain Magical Party

4. ARC136E Non-coprime DAG

考虑到 \(2\) 是一个很好的传递介质，不妨考察奇偶性，考察两点 \(i<j\)：

设 \(p(x)\) 为 \(x\) 的最小的质因子。

• 若 \(i\) 为奇，\(j\) 为奇，当 \(i+p(i)\leqslant j-p(j)\) 时可以走到。

• 若 \(i\) 为奇，\(j\) 为偶，当 \(i+p(i)\leqslant j\) 时可以走到。

• 若 \(i\) 为偶，\(j\) 为奇，当 \(i\leqslant j-p(j)\) 时可以走到。

• 若 \(i\) 为偶，\(j\) 为偶，\(i\) 可以直接走到 \(j\)。

容易理解以上式子的正确性，容易发现最多取一个偶数。

如果取了偶数 \(pos\)，则一定取右侧所有 \(i-p(i)<pos\) 的和左侧所有 \(i+p(i)>pos\)。

否则全都是奇数，则是 \(\min i+p(i)>\max i-p(i)\)，可以枚举一个中间值。

5. ARC135E Sequence of Multiples

有 \(A_i=i(\lfloor \dfrac{A_{i-1}}{i}\rfloor +1)\)，设 \(B_{i}=\dfrac {A_i}{i}\)，则 \(B_{i+1}=\lfloor \dfrac{iB_{i}}{i+1}\rfloor+1=B_i+1-\lceil \dfrac{B_i}{i+1}\rceil\)。

故 \(B_{i}-B_{i+1}=\lceil \dfrac{B_i}{i+1}\rceil-1\)，故 \(B_i\) 不增。考察一个 \(A_i\) 的上界：

\[A_i\leqslant X+\sum_{j=2}^i j<X+\dfrac 12 i(i+1),B_i<\dfrac{X}{i}+\dfrac 12 (i+1) \]

注意到数据范围是 \(10^{18}\) 我们希望得到一个 \(X^{\frac 13}\) 的做法，设 \(L=X^{\frac 13}\)，我们发现：

• 当 \(i<=L\) 时，\(B_i-B_{i+1}\) 至多有 \(L\) 种取值；
• 当 \(i>L\) 时，由于 \(B_L-B_{L+1}=\lceil \dfrac{B_L}{L+1}\rceil-1<\lceil \dfrac{\frac XL+\frac 12(L+1)}{L+1}\rceil=O(L)\)，也只有 \(O(L)\) 种；

于是我们只用对这 \(O(X^{\frac 13})\) 个连续段计算答案即可。

假设一个段的开头为 \(l\)，令 \(x=\lceil \dfrac{B_l}{l+1}\rceil\)，则 \(r\) 为满足 \(x=\lceil \frac{B_l-(r-l)(x-1)}{r+1}\rceil\) 的最大的 \(r\)。

\[x=\lceil \frac{B_l-(r-l)(x-1)}{r+1}\rceil=\lceil \frac{B_l+(l+1)(x-1)}{r+1}\rceil-x+1 \]

\[2x-1=\lceil \frac{B_l+(l+1)(x-1)}{r+1}\rceil=\lfloor \frac{B_l+(l+1)(x-1)-1}{r+1}\rfloor+1 \]

\[r+1=\lfloor \frac{B_l+(l+1)(x-1)-1}{2x-2}\rfloor \]

6. ARC132E Paw

观察最终形态，一定是 <<<<...<=>>>...>> 这种，表示左边都是向左，右边都是向右，中间恰有一个间隔不变。

考虑 \(n\) 个点都变成 < 且不影响到最右边的概率，设为 \(f_n\)。

此时可以操作除了最右边且向右以外的所有方案并递归到子问题，于是有：

\[f_n=f_{n-1}(1-\dfrac{1}{2n}) \]

枚举每个间隔作为不变的，于是答案为：

\[ \sum_{\text{间隔}}f_\text{左边点数}\times f_{\text{右边点数}}\times (\text{间隔中 < 的数量}+\text{左边总个数}) \]

就是这样，时间复杂度 \(O(n)\)

7. ARC132F Takahashi The Strongest

8. ARC130F Replace by Average

9. ARC129E Yet Another Minimization

感觉做这种超级玄学网络流真的没啥收获啊！还是尽力描述一下吧。

首先考虑 \(c_{i,j}\) 那一块，排出 \(n\) 排长度为 \(m\) 的链，令 \(V_{i,0}=S,V_{i,m}=T\)，连边 \((V_{i,j-1},V_{i,j},c_{i,j})\)，断开这一条表示选 \(a_{i,j}\)，这部分是经典的。然后考虑绝对值的部分：

\[\sum_{i<j} |x_i-x_j|w_{i,j}=\sum_{i,j} w_{i,j} \sum_{a\in Z} [x_j\leqslant a,a+1\leqslant x_i] \]

所以，对于任意的 \(a\in Z\)，若满足条件则必须要割掉，反之一定不需要割，比较抽象，考虑直观一点。假如我把每个 \(a\) 都建一个点，然后只把 \(a_{i,*}\) 设边权，其余都是 \(+\infty\)，然后连边 \((V_{i,a},V_{j,a},w_{i,j})\)，显然跑出来就是上式。那么我们只用把相同的边合并，事实上就是连边

\[(V_{i,x-1},V_{j,y},w_{i,j}\max\{0,\min\{a_{i,x},a_{j,y+1}\}-\max\{a_{i,x-1},a_{j,y}\}\}) \]

10. ARC129F Let's Play Tag