CF249E Endless Matrix

这题根本配不上紫题难度，除了细节巨难调以外，思维难度几乎为零。

考虑计算\(calc(x,y)=(1,1)\rightarrow(x,y)\)的值，答案即为\(calc(x1-1,y1-1)+calc(x2,y2)-calc(x1-1,y2)-calc(x2,y1-1)\)

1. \(x=y\quad calc(x,y)=\frac12(1+x^2)x^2\)

2. \(x>y\quad calc(x,y)=\frac12(1+y^2)y^2+\sum\limits_{i=y+1}^x \sum\limits_{j=i^2-y+1}^{i^2}j=\frac12(1+y^2)y^2+\frac12y\sum\limits_{i=y+1}^x(2i^2-y+1)\)

3. \(x<y\quad calc(x,y)=\frac12(1+x^2)x^2+\sum\limits_{i=x+1}^y \sum\limits_{j=(i-1)^2+1}^{(i-1)^2+x}j=\frac12(1+x^2)x^2+\frac12x\sum\limits_{i=x+1}^y(2i^2-4i+3+x)\)

如果这题是模\(998244353\)，\(1e9+7\)之类的数，那么恭喜做完了。

但这题的模数是\(1e10\)，不但是合数，乘起来还会爆\(long long\)，这使我们不得不考虑一些细节。

1. 判断是否结果小于\(1e10\)：再模一个\(1e10+9\)，比对结果。

2. 防止乘法爆\(long long\)：使用类似快速幂的快速乘法。

3. 计算过程中有出现取过模的数除以\(2\)，导致答案有\(5e9\)的误差：把模数改为\(2e10\)

这时发现因为过多的取模，我们完美地\(TLE\)了，下面有一些卡常\(tricks\)。

1. 因为\(1e10\)对于\(long long\)来说很小，所以最后取一次模就好了。

2. 快速乘法中建议取一个值，大于这个值再取模。

这样就可以愉快地\(AC\)本题了，时间复杂度\(\Theta(n\log n)\)

代码如下，以供参考：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod1=2e10;
const int mod2=1e10+9;
const int mod3=1e10;
const int val=1e16;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
int mod,T;
inline int mul(int x,int y){
	int res=0;
	while(y){
		if(y&1)res+=x;
		x<<=1;
		if(x>=val)x%=mod;
		y>>=1;
	}
	return res%mod;
}
inline int calc(int x,int y){
	if(!x||!y)return 0;
	int res=0;
	if(x==y){
		int t=mul(x,x);
		if(t&1)res=mul(t,(t+1)>>1);
		else res=mul(t>>1,t+1);
		return res;
	}else if(x<y){
		int t=mul(x,x);
		if(t&1)res=mul(t,(t+1)>>1);
		else res=mul(t>>1,t+1);
		t=mul(x+3,y-x);
		t-=mul(x+y+1,(y-x)<<1);
		if(y%3==0)t+=mul(y/3,mul(y+1,y<<1|1));
		else if(y%3==1)t+=mul(y,mul(y+1,(y<<1|1)/3));
		else t+=mul(y,mul((y+1)/3,y<<1|1));
		if(x%3==0)t-=mul(x/3,mul(x+1,x<<1|1));
		else if(x%3==1)t-=mul(x,mul(x+1,(x<<1|1)/3));
		else t-=mul(x,mul((x+1)/3,x<<1|1));
		t=t%mod+mod;
		if(!(t&1))res=(res+mul(x,t>>1))%mod;
		else if(mod&1)res=(res+mul(x,(t+mod)>>1))%mod;
		else res=(res+mul(x>>1,t))%mod;
		return res;
	}else{
		swap(x,y);
		int t=mul(x,x);
		if(t&1)res=mul(t,(t+1)>>1);
		else res=mul(t>>1,t+1);
		t=mod-mul(y-x,x-1);
		if(y%3==0)t+=mul(y/3,mul(y+1,y<<1|1));
		else if(y%3==1)t+=mul(y,mul(y+1,(y<<1|1)/3));
		else t+=mul(y,mul((y+1)/3,y<<1|1));
		if(x%3==0)t-=mul(x/3,mul(x+1,x<<1|1));
		else if(x%3==1)t-=mul(x,mul(x+1,(x<<1|1)/3));
		else t-=mul(x,mul((x+1)/3,x<<1|1));
		t=t%mod+mod;
		if(!(t&1))res=(res+mul(x,t>>1))%mod;
		else if(mod&1)res=(res+mul(x,(t+mod)>>1))%mod;
		else res=(res+mul(x>>1,t))%mod;
		return res;
	}
}
inline int solve(int x1,int y1,int x2,int y2){
	return ((calc(x1-1,y1-1)+calc(x2,y2)-calc(x1-1,y2)-calc(x2,y1-1))%mod+mod)%mod;
}
signed main(){
	T=read();
	int x1,x2,y1,y2;
	while(T--){
		x1=read(),y1=read();
		x2=read(),y2=read();
		mod=mod1;int res1=solve(x1,y1,x2,y2)%mod3;
		mod=mod2;int res2=solve(x1,y1,x2,y2);
		if(res1^res2)printf("...%.10lld\n",res1);
		else printf("%lld\n",res1);
	}
	return 0;
}

然而为什么人家都是\(8\)秒\(9\)秒，我一个人\(48\)秒（大雾