「COCI 2018.10」Strah

部分分1：暴力算法\(O(n^2m^2)\)，期望得分\(20pts\)。

部分分2：考虑枚举每个矩形的右上角。

转而考虑每一个点作为右上角能产生多少面积的矩形。

预处理数组\(rht[i][j]\)，代表从点\((i,j)\)最远可以向右走多少。

那么每次枚举一个点，枚举向下延伸多长，可以得到以这条边最远能向右平移多远。

然后一个等差数列求和计算贡献。复杂度\(O(n^2m)\)

期望得分\(50pts\)，实际得分\(80pts\)。

代码仅供参考：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e3+5;
int n,m,a[maxn][maxn];
long long ans;
int rht[maxn][maxn];
int main(){
	cin>>n>>m;
	string s;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>s;
		for(int j=1;j<=m;j++)
			a[i][j]=(s[j-1]=='.');
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=m;j>=1;j--)
			if(a[i][j])rht[i][j]=rht[i][j+1]+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			int mn=1e9;
			for(int k=i;k<=n;k++){
				mn=min(mn,rht[k][j]);
				if(!mn)break;
				ans+=1ll*(k-i+1)*(1+mn)*mn/2;
			}
		}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

正解：考虑每个矩形的底边。

转而考虑每个横向边可以向上生成多少个矩形。

预处理\(up[i][j]\)，其含义与\(rht[i][j]\)类似。

考虑用单调栈边维护边计算贡献。

若新加入的点比栈顶小，则其状态由变为

红色部分即为贡献部分。

设其宽度为\(w\)，高度区间为\([x,y]\)。

宽度的贡献：\(W_{wide}=\sum\limits_{i=1}^w i*(w-i+1)=w*\sum\limits_{i=1}^w i-\sum\limits_{i=1}^w i^2+\sum\limits_{i=1}^w i=\frac12 w*w*(w+1)-\frac16 w*(w+1)*(2w+1)+\frac12 w*(w+1)=\frac16 w*(w+1)*(w+2)\)

（宽度为\(i\)的有\(w-i+1\)种选法）

长度的贡献：\(W_{length}=\sum\limits_{i=x}^y i=\frac12 (y-x+1)*(x+y)\)，总贡献即为两式相乘。

最后计算还在栈中的数据时记得要从此处算到尾，如图

注意这种情况：

当当前的点比栈中第二大的还小时，则只去上面的部分，这些贡献将会被分层计算到，如图。

代码仅供参考：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e3+5;
typedef long long ll;
int n,m,a[maxn][maxn];
ll ans;
int up[maxn][maxn];
struct node{int h,x;};
stack<node>st;
inline ll sum(int x,int y,int z){
	return 1ll*(x+y)*(y-x+1)*z*(z+1)*(z+2)/12;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	string s;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>s;
		for(int j=1;j<=m;j++)
			a[i][j]=(s[j-1]=='.');
	}
	for(int j=1;j<=m;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(a[i][j])up[i][j]=up[i-1][j]+1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			int tmp=j;
			while(!st.empty()){
				node tp=st.top();
				if(up[i][j]==tp.h)break;
				else if(up[i][j]>tp.h){
					st.push((node){up[i][j],tmp});break;
				}else{
					st.pop();tmp=tp.x;
					int hh=up[i][j];
					if(st.size())hh=max(hh,st.top().h);
					ans+=1ll*sum(hh+1,tp.h,j-tp.x);
				}
			}
			if(st.empty())st.push((node){up[i][j],tmp});
		}
		while(!st.empty()){
			node tp=st.top();st.pop();
			if(st.empty())ans+=1ll*sum(1,tp.h,m-tp.x+1);
			else ans+=1ll*sum(st.top().h+1,tp.h,m-tp.x+1);
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

深深地感到自己的弱小。