并查集路径压缩与启发式合并
〖程序清单〗
初始化:
for i:=1 to n do father[i]:=i;
因为每个元素属于单独的一个集合,所以每个元素以自己作为根结点。
寻找根结点编号并压缩路径:
function getfather(v : integer) : integer; begin if father[v]=v then exit(v); father[v]:=getfather(father[v]); getfather:=father[v]; end; //合并两个集合: proceudre merge(x, y : integer); begin x:=getfather(x); y:=getfather(y); father[x]:=y; end;
判断元素是否属于同一集合:
function judge(x, y : integer) : boolean; begin x:=getfaher(x); y:=gefather(y); if x=y then exit(true) else exit(false); end;
这里有一个优化:让深度较小的树成为深度较大的树的子树,这样查找的次数就会少些。这个优化称为启发式合并。可以证明:这样做以后树的深度为O(logn)。即:在一个有n个元素的集合,我们将保证移动不超过logn次就可以找到目标。
function judge(x,y:integer):boolean; var fx,fy : integer; begin fx := getfaher(x); fy := gefather(y); If fx=fy then exit(true) else judge := false; if rank[fx]>rank[fy] then father[fy] := fx else begin father[fx] := fy; if rank[fx]=rank[fy] then inc(rank[fy]); end; end;
初始化:
fillchar(rank,sizeof(rank),0);
并查集的时间复杂度
并查集进行n次查找的时间复杂度是O(n)
它是阿克曼函数(Ackermann Function)的某个反函数。
它可以看作是小于5的。所以可以认为并查集的时间复杂度几乎是线性的。