【数论内容】线性筛素数，线性筛欧拉函数，求前N个数的约数个数

筛选法应用！

先来最基本的线性筛素数，以后的算法其实都是基于这个最基本的算法：

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #define M 10000000
 4 int prime[M/3];
 5 bool flag[M];
 6 void get_prime()
 7 {
 8     int i,j,k;
 9     memset(flag,false,sizeof(flag));
10     k=0;
11     for(i=2;i<M;i++){
12         if(!flag[i])                            
13         prime[k++]=i;
14         for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){
15             flag[i*prime[j]]=true;            
16             if(i%prime[j]==0)             
17                 break;
18         }
19     }
20 }
21 int main()
22 {} 

利用了每个合数必有一个最小素因子，每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次，所以是线性时间。
代码中体现在： if(i%prime[j]==0) break;
-----------------------------------------------------------------------我是低调的分割线------------------------------------------------------------------------------------------
然后可以利用这种线性筛法求欧拉函数，需要用到以下几个性质：
//(1) 若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
//(2) 若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);  
其中a是N的质因数。
关于欧拉函数还有以下性质：
(1) phi[p]=p-1;  (p为素数);
(2)若N=p^n(p为素数)，则 phi[N]=(p-1)*p^(n-1);
关于欧拉函数，Wiki有很详细的介绍。

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #define M 10000000
 4 int prime[M/3],phi[M];
 5 bool flag[M];
 6 void get_prime()
 7 {
 8     int i,j,k;
 9     memset(flag,false,sizeof(flag));
10     k=0;
11     for(i=2;i<M;i++){
12         if(!flag[i]){                            
13             prime[k++]=i;
14             phi[i]=i-1;
15         }
16         for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){
17             flag[i*prime[j]]=true;            
18             if(i%prime[j]==0){
19                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
20                 break;
21             }
22             else
23                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
24         }
25     }
26 }
27 int main()
28 {}
-----------------------------------------------------------------------我是低调的分割线-----------------------------------------------------------------------------------------
求约数个数略微复杂一点，但大体还是那个意思。
约数个数的性质，对于一个数N，N=p1^a1 + p2^a2 + ... + pn^an。其中p1 ,p2, p3... pn是N的质因数，a1 ,a2, a2,...an为相应的指数，则
                                                           div_num[N]=(p1+1)*(p2+1)*(p3+1)* ... *(pn+1);
结合这个算法的特点，在程序中如下运用：
  对于div_num：

(1)如果i|prime[j] 那么 div_num[i*prime[j]]=div_sum[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2)                  //最小素因子次数加1
(2)否则 div_num[i*prime[j]]=div_num[i]*div_num[prime[j]]                                     //满足积性函数条件

  对于e：

(1)如果i|pr[j]  e[i*pr[j]]=e[i]+1; //最小素因子次数加1
(2)否则 e[i*pr[j]]=1;              //pr[j]为1次

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #define M 10000000
 4 int prime[M/3],e[M/3],div_num[M];           // e[i]表示第i个素数因子的个数
 5 bool flag[M];
 6 void get_prime()
 7 {
 8     int i,j,k;
 9     memset(flag,false,sizeof(flag));
10     k=0;
11     for(i=2;i<M;i++){
12         if(!flag[i]){                            
13             prime[k++]=i;
14             e[i]=1;
15             div_num[i]=2;                       //素数的约数个数为2
16         }
17         for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){
18             flag[i*prime[j]]=true;            
19             if(i%prime[j]==0){
20                 div_num[i*prime[j]]=div_num[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2);
21                 e[i*prime[j]]=e[i]+1;
22                 break;
23             }
24             else{
25                 div_num[i*prime[j]]=div_num[i]*div_num[prime[j]];
26                 e[i]=1;
27             }
28         }
29     }
30 }
31 int main()
32 {}
33 
34 

转载自：http://www.cppblog.com/jie414341055/archive/2010/04/28/113882.html