树状数组

【引言】

          在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。

          但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。

          可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。

        当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。

         因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。

【理论】

          为了对树状数组有个形 象的认识，我们先看下面这张图。

       

         如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。

          这里，C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数，

          或者说是i用2的幂方和表示时的最小指数。

         （ 当然，利用位运算，我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) ）

          同时，我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。

          所以,当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，

           这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。  

           另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

           不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,

           因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

          接着，我们考察这两种操作下标变化的规律：

          首先看修改操作：

          已知下标i，求其父节点的下标。
           我们可以考虑对树从逻辑上转化：

            

          如图，我们将子树向右对称翻折，虚拟出一些空白结点（图中白色），将原树转化成完全二叉树。

         有图可知，对于节点i，其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。

          因而父节点下标 p=i+2^k (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂，即i为根节点子树的规模)

          即 p = i + i&(i^(i-1)) 。

          接着对于求和操作：

          因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂，所以我们要求子树i的前一棵树，只需让i减去2的最小幂即可。

          即 p = i - i&(i^(i-1)) 。

        

         至此，我们已经比较详细的分析了树状数组的复杂度和原理。

         在最后，我们将给出一些树状数组的实现代码，希望读者能够仔细体会其中的细节。

【代码】

求最小幂2^k:

int Lowbit(int t)
{
     return t & ( t ^ ( t - 1 ) );
}

             
   求前n项和：

int Sum(int end)
{
     int sum = 0;
     while(end > 0)
     {
         sum += in[end];
         end -= Lowbit(end);
     }
     return sum;
}

对某个元素进行加法操作：

void plus(int pos , int num)
{
     while(pos <= n)
     {
           in[pos] += num;
           pos += Lowbit(pos);
     }
}