几何分布的期望值如何计算

问题的引出：假设抛一枚硬币时硬币正面朝上的概率为p，连续抛硬币直至出现正面为止，则抛掷硬币次数的期望值该如何计算？
解：
记第一次抛出硬币正反面事件为\(Y\)，则

\[Y= \begin{cases} 1,& \text{如果第一次抛出的硬币为正面}\\ 0,& \text{如果第一次抛出的硬币为反面} (1)\end{cases}\]

\[\begin{aligned} E(N)&=E(E(N|Y))\\ &=P(Y=1)E(N|Y=1)+P(Y=0)E(N|Y=0)\\ &=pE(N|Y=1)+(1-p)E(N|Y=0)(2) \end{aligned}\]

又有

\[E(N|Y=1)=1,E(N|Y=0)=1+E(N)(3) \]

式(3)第二项成立的原因在于，每次抛掷硬币都是独立的，因此在第一次为反面之后抛掷次数的期望值仍为\(E(N)\)
又有

\[E(N|Y=1)=1(4) \]

则有

\[E(N)=p+(1-p)(1+E(N))(5) \]

解上式可得

\[E(N)=1/p \]