一些NPC问题的证明

《算法设计与分析》期末复习

团集

把 SAT 在多项式时间内归约到团集

对于一个可满足性实例 $f=C_1\wedge C_2\wedge ...\wedge C_m$

建立一张图 $G(V,E)$

$$E=\{(x_i,x_j)|x_i,x_j\text{属于不同子句且}{x}_i!=\overline{x_j}\}$$

现在证明可满足性实例 $f$ 是可满足的当且仅当 $G(V,E)$ 有一个大小为 $m$ 的团集

"=>"：可满足性实例 $f$ 是可满足的，说明每个子句中最少都有一个文字为 1，认为文字为 1 在这张新建立的图中是被选中的，根据图的定义就得到了一个大小为 $m$ 的团集

"<="：图中有一个大小为 $m$ 的团集，假设有一个字句不为 1，那么至少有一个子句中有两个对应的文字被选中，根据定义这两个点没有边相连，所以假设错误

顶点覆盖

把 SAT 在多项式时间内归约到顶点覆盖

对于一个有 $n$ 个文字 $x_1,x_2,...,x_n$ 的含有 $m$ 个子句的可满足性实例 $f=C_1\wedge C_2\wedge ...\wedge C_m$

建立一张图 $G(V,E)$

1. 对于任意 $x_i$，把$(x_i,\overline{x_i})$ 加入 $E$ 中

2. 对于一个子句 $C_i$，对于任意 $x_i,x_j$，均把它们相连加入 $E$ 中，也就是构建一个大小为 $|C_i|$ 的完全子图（上面说的团）

3. 对于一个子句 $C_i$，把 $C_i$ 内的任意文字 $x_i$ 与 1. 中对应的点相连

4. 令 $k=n+\mathrm{\Sigma }(|C_i|-1)$

下面证明可满足性实例 $f$ 是可满足的当且仅当 $G(V,E)$ 有一个大小为 $k$ 的顶点覆盖

"=>"：对于一个文字 $x_i$，如果其被指派为 1，那么在 $G$ 中选择 $x_i$，否则选择 $\overline{x_i}$；因为每个子句中至少有一个文字为 1，对于每个子句组成的团，存在至少一个顶点 $x_i$，与之对应的文字被选中，那么 $(x_i,x_i)$ 这条边已经被覆盖了，再选择团（一个完全子图）内其他的所有点，一共 $|C_i|-1$ 个，所以我们找到了一个大小为 $k$ 的顶点覆盖

"<="：$G$ 有一个大小为 $k$ 的顶点覆盖，首先考虑 1. 中构建的边必然要被覆盖，所以 $x_i,\overline{x_i}$ 至少有一个被选中；又因为我们对每个子句构造了一个完全子图，它的顶点覆盖至少要 $|C_i|-1$ 个点被选中；这样我们就保证的每个子句的结果必然为 1

独立集

考虑到顶点覆盖和独立集是完全相反的，完全可以把顶点覆盖在多项式时间内归约到独立集

图 $G(V,E)$ 有顶点覆盖 $S$ 当且仅当有独立集 $V-S$

"=>"：图 $G(V,E)$ 有一个顶点覆盖 $S$，对于图内的任意一条边 $(x_i,x_j)$，$x_i,x_j$ 至少有一个在 $S$ 内，那么在 $V-S$ 中，就不存在 $(x_i,x_j)$ 这条边

"<="：反之，对于图内任何一条边 $(x_i,x_j)$，$x_i,x_j$ 不可能同时出现在 $V-S$ 中，那么至少有一个出现在 $S$ 中

实际上，独立集也可以在多项式时间内归约到团集（图 $G$ 的一个独立集是图 $\bar{G}$ 的一个团集），又因为归约本身的传递性，顶点覆盖也可以归约到团集

3-SAT问题

显然是要把 SAT 在多项式时间内归约到 3-SAT

最麻烦的地方在于，SAT 中的某个子句可能含有任意字，且彼此之间是析取；我们要怎么转化成析取-（3项）合取形式的式子

对于一个子句 $C_i$，有 $C_i=x_1\vee x_2\vee ...\vee x_k$

当 $k=3$，这是我们所希望的，不用做任何操作

当 $k=1$，我们考虑加入两个额外变量，构造新的子句 $C_i^{\prime }=(x_1\vee y_1\vee y_2)\wedge (x_1\vee \overline{y_1}\vee y_2)\wedge (x_1\vee y_1\vee \overline{y_2})\wedge (x_1\vee \overline{y_1}\wedge \overline{y_2})$

当 $x_1=0$，令 $y_1=y_2=0$；当 $x_1=1$，令 $y_1=y_2=1$

当 $k=2$，考虑加入一个额外变量，新的子句 $C_i^{\prime }=(x_1\vee x_2\vee y_1)\wedge (x_1\vee x_2\vee y_1)$

当 $k>=4$，加入 $k+1$ 个额外变量，新的子句

$$C_i^{\prime }=(y_1\vee x_1\vee y_2)\wedge (\overline{y_2}\vee x_2\vee y_3)\wedge ...\wedge (\overline{y_k}\vee x_k\vee y_{k+1})$$

这个我还看到了很多构造方案，我觉得本质都差不多

既然在可满足性问题的一组解下，这个子句必然为 1，对于句内任何一个 $x_i=1$，都可以很轻易构造出 $y_1,...,y_{k+1}$ 的一组解使得整个句子值为 1

所以完成了 SAT 到 3-SAT 的归约

3-Colorability 3着色问题

考虑将 3-SAT 归约到 3-Colorability

这个构造有点复杂 😦 但是很有意思 😃

指路

很容易把 3-Colorability 归约到 k-Colorability

3 Dimensional Match 三维匹配问题

可以考虑把 3-Colorability 在多项式时间内归约到三维匹配问题

Hamilton Cycle / Path 哈密顿回路 / 路径问题

这群学数学的脑子怎么长的？

指路

我倾向于构造的这张图对于 SAT / 3-SAT 归约到哈密顿回路都适用

哈密顿回路通过添加边权可以归约到旅行商问题

那么对于哈密顿路径，我们考虑将哈密顿回路在多项式时间内归约到哈密顿路径

上面的pdf已经给出了方案，将哈密顿路径中的某个点 $v_i$ 拆成两个点 $v_{i_1}$ 和 $v_{i_2}$，$v_{i_1}$只分配入度信息，$v_{i_2}$ 只分配出度信息，两点之间不相连，这样就把一个路径断开了

Google 确实比 Bing 好用

Subset Sum 子集和问题

这个问题可以归约到 Set-Partition 划分问题和背包问题，所以提前列出来

不是哥们你考这个？