20-Recursive Types

引入

序列 List、树 Tree 具有同样的特点：可能任意长短，但是结构简单并有规律

相比于将这几种数据类型区分开，我们选择将它们概括为一种基本形式，即归纳类型

利用变式类型和元组类型，我们尝试再次定义 List 如下：

NatList = <nil: Unit, cons: {Nat, NatList}>

引入一个递归操作符 μ 和一个元变量 X

NatList = μX . <nil: Unit, cons: {Nat, X}>

μ 代表为满足 X = <nil: Unit, cons: {Nat, X}>

实例

为了可以在上面提到的 List 上编程，我们需要：

• 常量 nil，用来表示空列表

• 构造子 cons，用来在列表头部添加元素

• 函数 isnil，判断列表是否为空

• 提取表头的用于访问列表元素的函数 hd 和 tl

根据上文提到的 NatList 的定义：

nil = <nil = unit> as NatList

cons = λn : Nat . λl : NatList . <cons = {n, l}> as NatList

isnil = λl : NatList . case l of
  <nil = unit> -> false
  | <cons = {n, l}> -> true

hd = λl : NatList . case l of <nil = unit> -> 0 | <cons = p> -> p.1

tl = λl : NatList . case l of <nil = unit> -> l | <cons = p> -> p.2

那么就可以写出一个求和函数：

sumlist = fix (λs : NatList -> Nat . λl : NatList . if isnil 1 then 0 else plus (hd l) (s(tl l)));

例子

• 饥饿函数 Hungry = μA . Nat -> A

• 流 Stream = μA . Unit -> {Nat, A}

• 计数器对象 Counter = μC . {get: Nat, inc: Unit -> C}

• 不动点构造子 fix = λf : T -> T . (λx : (μA . A -> T) . f(x x))(λx : (μA . A -> T) . f(x x)) 通过对 x 赋予一个递归类型解决了之前未能规范化的 x x

同构递归