P1004 [NOIP2000 提高组] 方格取数——四维DP板子题

题目描述

设有 N×N 的方格图 (N≤9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 0。如下图所示（见样例）:

A
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0 13  0  0  6  0  0
 0  0  0  0  7  0  0  0
 0  0  0 14  0  0  0  0
 0 21  0  0  0  4  0  0
 0  0 15  0  0  0  0  0
 0 14  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
                         B

某人从图的左上角的 A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 B 点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 0）。
此人从 A 点到 B 点共走两次，试找出 22 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式

输入的第一行为一个整数 N（表示 N×N 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的 0 表示输入结束。

输出格式

只需输出一个整数，表示 22 条路径上取得的最大的和。

输入输出样例

输入 #1复制

8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0

输出 #1复制

67

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题解：好久没有写题了，手生，第一眼感觉动态规划，但是跑两遍动态规划不大行，需要记录每个状态的路径很麻烦。晨晨说可以用四维DP或者网络流。确实好想多了，网络流的写法是用费用流，可参考洛谷题解。 

状态转移方程为：

f[i][j][k][l]=max(f[i−1][j][k−1][l],f[i−1][j][k][l−1],f[i][j−1][k−1][l],f[i][j−1][k][l−1])+a[i][j]+a[k][l];

$可以看成两个人在同时走，可以重复走，但取数只能取一次。$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=31;
int  arr[N][N],n,cnt[N][N][N][N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);

    int i=-1,j=-1,b=-1,k=-1,l=-1;
    while(i!=0&&j!=0)
    {
        scanf("%d %d %d",&i,&j,&b);
        if(i!=0)arr[i][j]=b;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        cnt[i][1][1][1]=cnt[1][1][i][1]=arr[i][1],cnt[1][i][1][1]=cnt[1][1][1][i]=arr[1][i];
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            for(k=1;k<=n;k++)
            {
                for(l=1;l<=n;l++)
                {
                    cnt[i][j][k][l]=max(max(cnt[i-1][j][k-1][l],cnt[i][j-1][k][l-1]),max(cnt[i][j-1][k-1][l],cnt[i-1][j][k][l-1]))+arr[i][j]+arr[k][l];
                    if(i==k&&j==l) cnt[i][j][k][l]-=arr[i][j];
                }
            }

        }

    }
    printf("%d",cnt[n][n][n][n]);
    return 0;
}