Codeforces 1364E X-OR

Description

这是一道交互题。

有一个 $0 \sim n-1$ 的排列 $p$，下标为 $1 \sim n$，每次询问 ? a b （要求 $a \ne b$）返回 $p_a \lor p_b$ 的值。在不超过 $4269$ 次询问后回答排列 $p$，回答方式为 ! p1 p2 ... pn。

$3 \le n \le 2048$

Solution

下面规范书写使用 $\lor$ 来表示位或，$\operatorname{Query}(x, y)$ 表示题目中的询问 ? x y。

首先，可以发现 $0 \lor x = x$，这意味着，只要把排列里面的 $0$ 的位置找出来了，就可以把它分别和其他位置询问，来得到这个排列。

几个结论：

因为 $y \lor x \ge x$，所以不存在其它的数 $\lor x$ 比 $0 \lor x$ 小。换句话说，如果有 $a \lor x < b \lor x$，则 $b$ 必然不是 $0$（下面简称「结论 1」）。

因为 $0 \lor x = x$，如果 $a \ne b$，则必然有 $a \lor 0 \ne b \lor 0$。也就是说，如果存在一个数 $c$，使得 $a \ne b, a \lor c = b \lor c$，则 $c$ 不可能是 $0$。（下面简称「结论 2」）。

问题的关键出在了怎么找到 $0$ 所在的位置。

首先，我们可以把 $1 \sim n$ 打乱顺序（开始信仰了），记作 $p$；存答案的排列记作 $ans$（也就是题目中的 $p$）。$p$ 的下标是 $0 \sim n - 1$，$ans$ 的下标是 $1 \sim n$。

比方说，我们有两个 $0$ 位置的候选选项 $a$ 和 $b$（$a, b \in [1, n]$），且它们的或和是已知的（即已知 $val = \operatorname{Query}(a, b)$），现在我们枚举到了 $p_i = c$ 这个位置，我们发起询问 $tmp = \operatorname{Query}(a, c)$，尝试用 $c$ 去更新 $a$ 和 $b$：

1. 如果 $tmp < val$，也就是 $p_c \lor p_a < p_b \lor p_a$，根据结论 1，可知 $b$ 所在的位置不可能是 $0$，所以 $b \gets c, val \gets tmp$。
2. 如果 $tmp > val$，也就是 $p_c \lor p_a > p_b \lor p_a$，根据结论 1，可知 $c$ 所在的位置不可能是 $0$，故不用更新。
3. 如果 $tmp = val$，也就是 $p_c \lor p_a = p_b \lor p_a$，因为 $p_c$ 肯定是不等于 $p_b$ 的，根据结论 2，可知 $a$ 所在的位置不可能是 $0$，所以 $a \gets c, val \gets \operatorname{Query(b, c)}$。

全部更新完后，我们就得到了两个 $0$ 的候选项 $a$ 和 $b$，我们开始随机选择 $c \in [1, n]$，在保证 $a \ne c, b \ne c$ 的前提下，每次询问 $t_1 = \operatorname{Query}(a, c)$ 和 $t_2 = \operatorname{Query}(b, c)$，如果 $t_1 \ne t_2$，根据结论 1 就可以舍去其中一个（留下结果较小的那个），即确定了 $0$ 的位置。

最后就可以快乐地和每个位置询问得出答案啦！

下面分析询问次数：

最终求答案肯定是 $n$ 级别次询问，第一步也肯定对于每个位置至少做了一次询问，所以总共做了 $2n$ 级别次询问。现在不能确定次数的就是第一步的情况 3 和第二步，通过大量尝试可知，询问次数非常少，最坏情况下仅仅十几而已，感性上可以理解为恰好选取一个数 $y$ 包含了 $x$ 的所有位的概率显然是十分小的，所以在随机情况下不会超过限制次数。有严谨证明可以联系我。

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#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = (1 << 11) + 5; int n, p[N], ans[N]; inline int query(int x, int y) {     cout << "? " << x << ' ' << y << endl;     cout.flush();     int res;     cin >> res;     return res; } int main() {     srand(20050910);     cin >> n;     for(int i = 0; i < n; i++) p[i] = i + 1;     random_shuffle(p, p + n);     int a = p[0], b = p[1], val = query(p[0], p[1]);     for(int i = 2; i < n; i++)     {         int tmp = query(b, p[i]);         if(tmp < val)         {             a = p[i];             val = tmp;         }         else if(tmp == val)         {             b = p[i];             val = query(a, p[i]);         }     }     int id0;     while(1)     {         int i = rand() % n + 1;         if(i == a || i == b) continue;         int t1 = query(i, a), t2 = query(i, b);         if(t1 == t2) continue;         id0 = t1 < t2 ? a : b;         break;     }     for(int i = 1; i <= n; i++)         if(i != id0) ans[i] = query(i, id0);     cout << "! ";     for(int i = 1; i <= n; i++) cout << ans[i] << ' ';     cout << endl;     cout.flush();     return 0; }