AtCoder Regular Contest 108 选做

D - AB

给定一个正整数 \(N\) 和 \(4\) 个字符变量 \(c_{\rm AA}, c_{\rm AB}, c_{\rm BA}, c_{\rm BB}\)，变量的取值为 A 或 B。

初始时，有一个长度为 \(2\) 的字符串 AB，每次操作你可以选择一个长度为 \(2\) 的子串 \(s_1s_2\)，在它们之间插入一个新的字符 \(c_{s_1s_2}\)。

求通过这种方法能生成多少种长度为 \(N\) 的不同的字符串。

答案对 \(10^9 + 7\) 取模。

\(2 \le N \le 1000\)。

2s, 1GB

显然直接分类讨论。

首先不妨设 $c_{\rm AB} = $ A（另一种情况几乎完全相同）。

那么，仅使用 \(c_{\rm AB}\)，我们就可以把字符串变为 AA...AAB，于是我们对 \(c_{\rm AA}\) 进行讨论：

• 如果 $c_{\rm AA} = $ A，那么答案为 \(1\)，只有 AA...AAB 一种。
• 如果 $c_{\rm AA} = $ B，那么此时，字符串可以变为 AABAAABAABAA...AB 这样，即「若干个 A，一个 B，若干个 A，一个 B …… 最终是一个 AB」，于是再对 \(c_{\rm BA}\) 进行讨论：
  • 如果 $c_{\rm BA} = $ B，那么任意以 A 开头，AB 结尾的字符串就都能生成了，于是答案为 \(2^{N-3}\)。
  • 如果 $c_{\rm BA} = $ A，那么我们还是只能生成上文所描述的那类字符串，而这种字符串的数量不难发现为 \(Fib_{N-2}\)。

于是答案就很好求了，时间复杂度 \(O(N)\)。

https://atcoder.jp/contests/arc108/submissions/26105355

E - Random IS

给定一个长度为 \(N\) 的数列 \(a\)，数列 \(a\) 中的值互不相同，重复执行以下过程：

1. 对于某个未被标记的数，如果它被标记了以后，所有被标记的数仍然呈现一个递增数列，那么就称它是好的。记有 \(k\) 个好数。
2. 如果 \(k=0\)，结束操作，否则从好数中等概率随机选择一个打标记。

求最终被标记的数的期望，对 \(10^9 + 7\) 取模的结果。

\(1 \le a_i \le N \le 2000\)，\(a_i\) 互不相同。

3s, 1GB

考虑使用区间 DP，设 \(f(l, r)\) 表示 \(a_l, a_r\) 都被打标记之后，\([l+1,r-1]\) 这一段被标记的数的个数的期望。

边界条件是 \(f(l, r) = 0 \ (r - l \le 1)\)。

考虑转移，枚举这个区间中第一个被打标记的点，即：

\[f(l, r) = \frac{\sum_{i=1}^{k} (f(l, pos_i) + f(pos_i, r))}{k}+1 \]

增设 \(a_0 = 0, a_{N+1} = N + 1\)，那么答案即 \(f(0, N + 1)\)。

但这样暴力是 \(O(N^3)\) 的，会超时。显然，枚举 \(k\) 的那层循环可以视作一个单点加、区间求和，于是使用树状数组优化即可。

时间复杂度 \(O(N^2 \log N)\)。

https://atcoder.jp/contests/arc108/submissions/26119219

F - Paint Tree

给定一棵包含 \(N\) 个结点的树，第 \(i\) 条边连接 \(a_i, b_i\)，长度为 \(1\)。

现在，需要给每个结点涂上黑色或者白色，记 \(X\) 表示两个白色点之间的最大距离，\(Y\) 表示两个黑色点之间的最大距离，那么这种涂色方案的分值就是 \(\max(X, Y)\)。如果一种方案中某种颜色不足两个点，那么最大距离视作为 \(0\)。

对所有的 \(2^{N}\) 种染色方案，求出它们的分值之和，对 \(10^9 + 7\) 取模。

\(2 \le N \le 2\times 10^5\)。

2s, 1GB

首先找到一条树的直径 \(U, V\)。

如果 \(U, V\) 同色，那么分值必然是直径的长度。

接下来考虑 \(U, V\) 异色的情况，比如 \(U\) 是白色，\(V\) 是黑色。

根据直径的性质，我们可以知道，对于一对合法的 \(X, Y\)，必然存在某个白色点到 \(U\) 的距离是 \(X\)，某个黑色点到 \(V\) 的距离是 \(Y\)。

那么一遍 DFS 对每个结点求出一个 pair \((x, y)\)，表示它离 \(U, V\) 的距离。

问题转化为对每个点从 \((x, y)\) 中选一个出来，分值则为最大的元素。

这是很简单的，只要对于某个 \(d\)，都能求出 \(ans \ge d\) 的方案数，累加即可。

但 \(ans \ge d\) 的方案数不好求，可以考虑求 \(ans \le d\) 的方案数，具体方法为：

• 如果存在某个 \(i\)，满足 \(\min(x, y) > d\)，那么方案数为 \(0\)。
• 否则，记有 \(c\) 个点的 \(x, y\) 均 \(\le d\)，剩下的点的 \(x, y\) 只有一者 \(\le d\)，则此时的方案数即为 \(2^c\)。

时间复杂度 \(O(N)\)。

https://atcoder.jp/contests/arc108/submissions/26195554