【算法讲解】三分法

三分法主要用于求解一个函数在某个区间内的极大（极小）值点，类似于二分法做一个比较：

　　　　　　二分法　　　　　　　　　　　　三分法

作用：　　　求解一个函数的零点　　　　　　求解一个函数的极大（极小）值点

条件　　　　函数在这个区间是单调函数　　　函数在这个区间是凸（凹）函数

 

首先对于一个凹函数y=f(x)，我们要求它的极小值点。

 

首先确定它的极小值点所在的区间为[l,r]

计算出两个三分点：

mid=(l+r)/2

mid2=(mid+r)/2

（其实这两个点的位置是灵活的）

此时 l < mid <mid2 < r

计算出对应的函数值 f(mid)和f(mid2)。

当f(mid)<f(mid2)时，则极小值点一定不会在mid2和r之间。

反之f(mid)>f(mid2)时，极小值点一定该不会在l和mid之间。

因此，当f(mid)<f(mid2)时，极小值点在[l,mid2]内。此时令l=l，r=mid2继续计算。

当f(mid)>f(mid2)时，极小值点在[mid,r]内。此时令l=mid，r=r继续计算。

直到这个区间足够小，可以认为l=r时，l就是所求的极小值点。（可接受的误差内）

算法复杂度大约是log_1.5（(r-l)/eps）

double sanfen(double l,double r){
    double mid,midmid,fmid,fmidmid;
    mid=(l+r)/2;
    midmid=(mid+r)/2;
    fmid=f(mid);
    fmidmid=f(midmid);
    while(r-l>0.00000000001){
        //printf("%lf %lf  %lf %lf\n",mid,midmid,fmid,fmidmid);
        if(fmid>fmidmid){
            l=mid;
            mid=midmid;
            fmid=fmidmid;
            midmid=(mid+r)/2;
            fmidmid=f(midmid);
        }else{
            r=midmid;
            midmid=mid;
            fmidmid=fmid;
            mid=(l+midmid)/2;
            fmid=f(mid);
        }
    }
    return fmid;
}

double f(double a)
{
    /*返回函数值*/
}
double Solve(double MIN,double MAX)//返回极值点
{
    double l = MIN, r = MAX;
    double mid, midmid;
    double mid_f, midmid_f;
    while (l + EPS < r)
    {
        mid = (l + r) / 2;
        midmid = (mid + r) / 2;
        mid_f = f(mid);
        midmid_f = f(midmid);
        // 假设求解最大极值.最小值则取小于号
        if (mid_f >= midmid_f) r = midmid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

 模板1中稍微优化了一下，每次三分之需要多计算一次函数值，另一次直接利用上次计算出来的。

模板2中直接按照思路。