题解「中位数之中位数 median」

题意

求序列的所有子区间的中位数所组成的可重集的中位数。

题解

考虑如何求一个子区间的中位数：考虑二分答案，假设当前二分出的中位数为 \(mid\) ，求出这个子区间内比 \(mid\) 小的数的个数 \(cnt\) ，若 \(cnt\) 大于区间长度的一半，那么中位数比 \(mid\) 小，否则比 \(mid\) 大。

求所有子区间的中位数的中位数也可以使用这种方法。先二分答案 \(mid\) ，求出区间内小于等于 \(mid\) 的数的个数小于等于子区间个数的一半的子区间个数 \(cnt\)，若 \(cnt\) 大于所有子区间个数，则中位数比 \(mid\) 小，否则比 \(mid\) 大。

考虑如何求解 \(cnt\) ：

做一个前缀和 \(p_i\) ，表示前 \(i\) 个数中小于等于 \(mid\) 的数的个数。那么若区间 \([l+1,r]\) 的中位数小于等于 \(mid\) ，有 \(2\times (p_r-p_l)>r-l\) ，移项得 \(2\times p_r-r > 2\times p_l-l\) 。这是经典的逆序对问题，可以通过树状数组求解。

另外有一处细节：每次check的时候要先加入 \(2\times p_0-0\) ，否则统计不到区间 \([1,i]\) 的答案。然而原题数据太水了，没有卡这种情况，加了hack数据后 这篇博客 和两份赛时AC的代码均被hack了。

\(\text{Code}:\)

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long lxl;
const int maxn=1e5+5;

#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
template <typename T>
inline void read(T &x)
{
	x=0;T f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	x*=f;
}

int n,a[maxn];
int b[maxn],m;

namespace BIT
{
	int sum[maxn<<1];
	inline int lowbit(int x) {return x&-x;}
	inline void add(int x,int d)
	{
		for(int i=x;i<=(2*n+1);i+=lowbit(i))
			sum[i]+=d;
	}
	inline int query(int x)
	{
		int res=0;
		for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
			res+=sum[i];
		return res;
	}
	inline void clear()
	{
		memset(sum,0,sizeof(int)*(2*n+5));
	}
}

int p[maxn];

inline lxl check(int x)
{
	lxl res=0;
	BIT::clear();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		p[i]=p[i-1]+(a[i]<=x);
	BIT::add(n+1,1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		res+=BIT::query(2*p[i]-i-1+n+1);
		BIT::add(2*p[i]-i+n+1,1);
	}
	return res;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("median.in","r",stdin);
	freopen("median.out","w",stdout);
#endif
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		read(a[i]),b[i]=a[i];
	sort(b+1,b+n+1);
	m=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=lower_bound(b+1,b+m+1,a[i])-b;
	int l=1,r=m,ans=-1;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)>1ll*n*(n+1)/4) r=mid-1,ans=mid;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%d\n",b[ans]);
	return 0;
}