题解「LOJ2348 「JOI 2018 Final」美术展览」

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题面

题意

有 \(n\) 个物品，物品 \(i\) 有尺寸 \(A_i\) 和价值 \(B_i\) 。选择若干个物品，使得选择的物品的总价值 \(S\) 减尺寸的极差 \(A_{max}-A_{min}\) 最大。

题解

发现若固定 \(A_{min}\) 和 \(A_{max}\) ，那么一定将尺寸在 \([A_{min},A_{max}]\) 中的物品选完，那么 \(S\) 的值就很好求得。将物品按 \(A\) 升序排序，那么选择的物品一定是一段区间。

同时固定两个值有些困难，先固定一个值 \(A_{min}\)。令 \(A_{min}\) 在排好序的物品中下标为 \(i\) ， \(A_{max}\) 的下标为 \(j\) ，有 \(i\leq j\) 。则需要最大化的值即为：

\[\sum_{k=i}^jB_k-(A_j-A_i) \]

令 \(sum\) 表示 \(B\) 的前缀和，则有：

\[sum_j-sum_{i-1}-(A_j-A_i)=sum_j-A_j-(sum_{i-1}-A_i) \]

从右到左枚举 \(i\) ，记录 \(sum_j-A_j,j\in [i,n]\) 的最大值，依次更新答案即可。

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\(\text{Code}:\)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <climits>
#define Rint register int
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long lxl;
const int maxn=5e5+5;

template <typename T>
inline void read(T &x)
{
	x=0;T f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
	x*=f;
}

struct Art
{
	lxl A,B;
	Art(lxl A,lxl B):A(A),B(B){}
	Art(){}
	inline bool operator < (const Art &T)const
	{
		return A<T.A;
	}
}art[maxn];

int n;
lxl sum[maxn];

int main()
{
	// freopen("#2348.in","r",stdin);
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		read(art[i].A),read(art[i].B);
	sort(art+1,art+n+1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		sum[i]=sum[i-1]+art[i].B;
	lxl ans=LLONG_MIN,Max=LLONG_MIN;
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		Max=max(Max,sum[i]-art[i].A);
		ans=max(ans,Max-sum[i-1]+art[i].A);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}