总结「斯坦纳树」
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姑且当作状压DP的复习了。
斯坦纳树问题是组合优化问题，与最小生成树相似，是最短网络的一种。最小生成树是在给定的点集和边中寻求最短网络使所有点连通。而最小斯坦纳树允许在给定点外增加额外的点，使生成的最短网络开销最小。
用一道模板题来引入问题：
P6192 【模板】最小斯坦纳树
给定一个包含 \(n\) 个结点和 \(m\) 条带权边的无向连通图 \(G=(V,E)\)。
再给定包含 \(k\) 个结点的点集 \(S\)，选出 \(G\) 的子图 \(G′=(V′,E′)\)，使得：
- \(S\subseteq V'\)；
- \(G'\) 为连通图；
- \(E'\) 中所有边的权值和最小。
求 \(E'\) 中所有边的权值和。
为了使边权和最小， \(G'\) 一定是一棵树，证明类比最小生成树。
考虑状压DP，令 \(f(i,s)\) 表示以 \(i\) 为根的包含点集 \(s \subseteq S\) 的树的最小边权和。则有转移：
- 若 \(i\) 的度数为 \(1\) ，则枚举与它有边相连的点转移， \(f(i,s)=\min_{j}f(j,s)+w(i,j)\) 。
- 若 \(i\) 的度数大于 \(1\) ，则划分成几个子树求解， \(f(i,s)=\min_{t \subseteq s}f(i,t)+f(i,s-t)\) 。
第一种转移可以每次跑最短路实现。
\(\text{Code}:\)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#define maxn 105
#define maxm 505
#define Rint register int
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long lxl;
template <typename T>
inline void read(T &x)
{
x=0;T f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
x*=f;
}
struct edge
{
int u,v,w,next;
}e[maxm<<1];
int head[maxn],k;
inline void add(int u,int v,int w)
{
e[k]=(edge){u,v,w,head[u]};
head[u]=k++;
}
int n,m,K;
int f[maxn][1<<11];
bool vis[maxn];
typedef pair<int,int> pii;
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
inline void Dijkstra(int S)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
while(!q.empty())
{
int u=q.top().second;q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=true;
for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if(f[v][S]>f[u][S]+e[i].w)
{
f[v][S]=f[u][S]+e[i].w;
q.push(make_pair(f[v][S],v));
}
}
}
}
int p[11];
int main()
{
// freopen("P6192.in","r",stdin);
read(n),read(m),read(K);
memset(head,-1,sizeof(head));
for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i)
{
read(u),read(v),read(w);
add(u,v,w);add(v,u,w);
}
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=K;++i)
{
read(p[i]);
f[p[i]][1<<(i-1)]=0;
}
for(int S=1;S<(1<<K);++S)
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int S0=S&(S-1);S0;S0=(S0-1)&S&(S-1))
f[i][S]=min(f[i][S],f[i][S0]+f[i][S^S0]);
if(f[i][S]!=INF) q.push(make_pair(f[i][S],i));
}
Dijkstra(S);
}
printf("%d\n",f[p[1]][(1<<K)-1]);
return 0;
}
练习
P4294 [WC2008]游览计划
棋盘图上求解最小斯坦纳树。由于这道题是点权，所以转移方程有所不同：
\[\begin{aligned}
&f(i,s)=\min f(j,s)+a_i\\
&f(i,s)=\min_{t \subseteq s} f(i,t)+f(i,s-t)-a_i
\end{aligned}
\]
另外这题需要输出方案，所以对每一个状态都要记录前驱，略恶心。
\(\text{Code}:\)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#define maxn 105
#define maxm 2005
#define Rint register int
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long lxl;
template <typename T>
inline void read(T &x)
{
x=0;T f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
x*=f;
}
struct edge
{
int u,v,next;
}e[maxm<<1];
int head[maxn],k;
inline void add(int u,int v)
{
e[k]=(edge){u,v,head[u]};
head[u]=k++;
}
typedef pair<int,int> pii;
pii pre[maxn][1<<11];
int n,m,K,a[maxn],p[maxn];
int f[maxn][1<<11];
bool vis[maxn];
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
inline void Dijkstra(int S)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
while(!q.empty())
{
int u=q.top().second;q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=true;
for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if(f[v][S]>f[u][S]+a[v])
{
f[v][S]=f[u][S]+a[v];
pre[v][S]=make_pair(u,S);
q.push(make_pair(f[v][S],v));
}
}
}
}
inline int pos(int x,int y) {return (x-1)*m+y;}
int ans[15][15];
inline void dfs(int u,int S)
{
if(!pre[u][S].second) return;
ans[(u-1)/m+1][(u-1)%m+1]=1;
if(pre[u][S].first==u) dfs(u,S^pre[u][S].second);
dfs(pre[u][S].first,pre[u][S].second);
}
int main()
{
// freopen("P4294.in","r",stdin);
read(n),read(m);
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
{
int u=pos(i,j);
read(a[u]);
if(!a[u])
{
p[++K]=u;
f[p[K]][1<<(K-1)]=0;
}
if(i-1>=1)
{
add(u,pos(i-1,j));
add(pos(i-1,j),u);
}
if(j-1>=1)
{
add(u,pos(i,j-1));
add(pos(i,j-1),u);
}
}
for(int S=1;S<(1<<K);++S)
{
for(int i=1;i<=n*m;++i)
{
for(int S0=S&(S-1);S0;S0=(S0-1)&S&(S-1))
if(f[i][S]>f[i][S0]+f[i][S^S0]-a[i])
{
f[i][S]=f[i][S0]+f[i][S^S0]-a[i];
pre[i][S]=make_pair(i,S0);
}
if(f[i][S]!=INF) q.push(make_pair(f[i][S],i));
}
Dijkstra(S);
}
printf("%d\n",f[p[1]][(1<<K)-1]);
dfs(p[1],(1<<K)-1);
for(int i=1;i<=n;++i,puts(""))
for(int j=1;j<=m;++j)
{
int u=pos(i,j);
if(!a[u]) putchar('x');
else if(ans[i][j]) putchar('o');
else putchar('_');
}
return 0;
}
P3264 [JLOI2015]管道连接
不同的是这道题的关键点分为几类，求的是使得任意同类关键点都连通的最小花费。
先求一遍最小斯坦纳树，得到 \(f\) 数组。
令 \(g(s)\) 表示令点类 \(s\) 连通的最小花费， \(cnl_i\) 表示类别为 \(i\) 的点集。则有转移：
- 直接让点类 \(s\) 中的每一类的所有点都连通，则 \(g(s)=\min_{i=1}^n f(i,\bigcup_{k \in s}cnl_k)\) 。
- 将 \(s\) 分裂成两个集合，则 \(g(s)=\min_{t \subseteq s}g(t)+g(s-t)\) 。
这道题不知道为什么用Dijkstra会比SPFA慢。
\(\text{Code}:\)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#define maxn 1005
#define maxm 3005
#define Rint register int
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long lxl;
template <typename T>
inline void read(T &x)
{
x=0;T f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
x*=f;
}
struct edge
{
int u,v,w,next;
}e[maxm<<1];
int head[maxn],k;
inline void add(int u,int v,int w)
{
e[k]=(edge){u,v,w,head[u]};
head[u]=k++;
}
int n,m,K,p[11];
int f[maxn][1<<11],g[1<<11],cnl[11];
bool vis[maxn];
typedef pair<int,int> pii;
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
inline void Dijkstra(int S)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
while(!q.empty())
{
int u=q.top().second;q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=true;
for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if(f[v][S]>f[u][S]+e[i].w)
{
f[v][S]=f[u][S]+e[i].w;
q.push(make_pair(f[v][S],v));
}
}
}
}
int main()
{
// freopen("P3264.in","r",stdin);
read(n),read(m),read(K);
memset(head,-1,sizeof(head));
for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i)
{
read(u),read(v),read(w);
add(u,v,w);
add(v,u,w);
}
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=1,c;i<=K;++i)
{
read(c);read(p[i]);
f[p[i]][1<<(i-1)]=0;
cnl[c]|=1<<(i-1);
}
for(int S=1;S<(1<<K);++S)
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int S0=(S-1)&S;S0;S0=(S0-1)&(S-1)&S)
f[i][S]=min(f[i][S],f[i][S0]+f[i][S^S0]);
if(f[i][S]!=INF) q.push(make_pair(f[i][S],i));
}
Dijkstra(S);
}
memset(g,0x3f,sizeof(g));
g[0]=0;
for(int S=1;S<(1<<K);++S)
{
int S1=0;
for(int i=0;i<K;++i)
if((S>>i)&1) S1|=cnl[i+1];
for(int i=1;i<=n;++i)
g[S]=min(g[S],f[i][S1]);
for(int S0=(S-1)&S;S0;S0=(S0-1)&(S-1)&S)
g[S]=min(g[S],g[S0]+g[S^S0]);
}
printf("%d\n",g[(1<<K)-1]);
return 0;
}
