题解「Luogu2839 [国家集训队]middle」
题面
给一个序列 \(s\) ，回答 \(Q\) 个这样的询问：\(s\) 的左端点在 \([a,b]\) 中，右端点在 \([c,d]\) 中的子区间的最大中位数。
题解
首先要知道中位数怎么求：
二分出一个 \(mid\) ，判断中位数 \(m\) 与 \(mid\) 的大小关系。将询问区间 \([l,r]\) 内所有 \(s_i < mid\) 赋值为 \(-1\) ，\(s_i\geq mid\) 赋值为 \(1\) ，令 \(sum=\sum_{i=l}^rs_i\) 分类讨论：
- 若 \(sum \geq 0\) ，则 \(m \geq mid\) 。
- 若 \(sum<0\) ，则 \(m<mid\) 。
但是由于本题询问的区间不固定，上面的做法就需要改动。
题目中要求 \(m\) 最大，所以对于一个值 \(mid\) ，我们要让 \(sum\) 尽量大，而区间 \([b+1,c-1]\) 的 \(sum\) 是一定的，所以等价于区间 \([a,b],[c,d]\) 的 \(sum\) 尽量大，这相当于求区间 \([a,b]\) 和最大的后缀与区间 \([c,d]\) 和最大的前缀（这里的前缀后缀长度都不为 \(0\) ）。
然后就有一个做法了：对于离散化后中位数可能取到的每一个值开一棵线段树，维护区间和 \(sum\) 、最大前缀和 \(lsum\) 、最大后缀和 \(rsum\) 。但是这样空间复杂度有 \(O(n^2 {\rm{log}}n)\) ，显然爆炸。
不难发现值 \(x\) 对应的线段树与值 \(x+1\) 对应的线段树差别不大，也就是说我们记录了很多重复信息。显然，由 \(x\) 到 \(x+1\) ，只有原序列中值为 \(x\) 的数对应的值由 \(1\) 变为了 \(-1\) ，这里就可以用一个类似主席树的东西继承值 \(x\) 对应的线段树上的信息。
用 \(\text{vector}\) 记录每个值的出现位置，每次以上一次修改为模板进行修改。
\(\text{Code}:\)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#define maxn 20005
#define Rint register int
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long lxl;
template <typename T>
inline T read()
{
T x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,Q;
int A[maxn],B[maxn];
std::vector<int> P[maxn];
int rt[maxn];
struct Segment_Tree
{
struct node
{
int sum,lsum,rsum;
node(int x=0){sum=lsum=rsum=x;}
inline node operator + (const node &T)const
{
node res;
res.sum=sum+T.sum;
res.lsum=max(lsum,sum+T.lsum);
res.rsum=max(T.rsum,T.sum+rsum);
return res;
}
}tree[maxn<<5];
int tot,ch[maxn<<5][2];
inline int build(int l,int r,int d)
{
int p=++tot;
if(l==r) {tree[p]=node(A[l]>=d?1:-1);return p;}
int mid=(l+r)>>1;
ch[p][0]=build(l,mid,d);
ch[p][1]=build(mid+1,r,d);
tree[p]=tree[ch[p][0]]+tree[ch[p][1]];
return p;
}
inline int update(int l,int r,int pos,int tmp)
{
int p=++tot;
tree[p]=tree[tmp];
ch[p][0]=ch[tmp][0];ch[p][1]=ch[tmp][1];
if(l==r) {tree[p]=node(-1);return p;}
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid)
ch[p][0]=update(l,mid,pos,ch[tmp][0]);
else
ch[p][1]=update(mid+1,r,pos,ch[tmp][1]);
tree[p]=tree[ch[p][0]]+tree[ch[p][1]];
return p;
}
inline node query(int p,int l,int r,int L,int R)
{
if(L<=l&&r<=R) return tree[p];
int mid=(l+r)>>1;
if(R<=mid) return query(ch[p][0],l,mid,L,R);
else if(L>mid) return query(ch[p][1],mid+1,r,L,R);
else return query(ch[p][0],l,mid,L,R)+query(ch[p][1],mid+1,r,L,R);
}
}st;
int a,b,c,d;
inline int check(int mid)
{
int res=0;
if(b+1<=c-1) res+=st.query(rt[mid],1,n,b+1,c-1).sum;
res+=st.query(rt[mid],1,n,a,b).rsum;
res+=st.query(rt[mid],1,n,c,d).lsum;
return res;
}
int main()
{
// freopen("P2839.in","r",stdin);
n=read<int >();
for(int i=1;i<=n;++i)
A[i]=B[i]=read<int >();
sort(B+1,B+n+1);
m=unique(B+1,B+n+1)-B-1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
A[i]=lower_bound(B+1,B+m+1,A[i])-B;
P[A[i]].push_back(i);
}
rt[1]=st.build(1,n,1);
for(int i=2;i<=m;++i)
{
rt[i]=rt[i-1];
for(vector<int>::iterator it=P[i-1].begin();it!=P[i-1].end();++it)
rt[i]=st.update(1,n,*it,rt[i]);
}
int x=0,q[4];
Q=read<int >();
while(Q--)
{
q[0]=(read<int >()+x)%n+1,q[1]=(read<int >()+x)%n+1;
q[2]=(read<int >()+x)%n+1,q[3]=(read<int >()+x)%n+1;
sort(q,q+4);
a=q[0],b=q[1],c=q[2],d=q[3];
int l=1,r=m,res=-1;
while(l<=r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)>=0) res=mid,l=mid+1;
else r=mid-1;
}
printf("%d\n",x=B[res]);
}
return 0;
}
