题解「P5451 [THUPC2018]密码学第三次小作业」

校内测试考了这道题，当时按照题目背景瞎搞了搞，把样例水过了，结果爆零/kk

开始还以为正解要从题目背景中推出来，搞了一个多小时。考完发现背景和题目没什么关系啊！再也不看题目背景了

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首先题面用粗体强调了：\(e_1\) 与 \(e_2\) 互素。也就是说,有整数 \(s,t\)，满足：

\[s*e_1+t*e_2= {\rm{gcd}}(e_1,e_2)=1 \]

突破口一定是这个式子。

再看题目中 \(m\) 是以 \(m^{e_1},m^{e_2}\) 出现的，上面的那个式子可能要放到指数上。

这个 \("1"\) 就很巧妙啊，可以代换到很多地方，比如代进指数的位子上去，并不影响原值。

则答案

\[m \equiv m^1 \equiv m^{s*e_1+t*e_2} \ ({\rm {mod}} \ N) \]

这个式子又可以写成：

\[m \equiv (m^{e_1})^s(m^{e_2})^t \ ({\rm {mod}} \ N) \]

把题中所给的 \(c_1,c_2\) 代入得：

\[m \equiv c_1^sc_2^t \ ({\rm {mod}} \ N) \]

\(s,t\)显然可以用扩展欧几里得算法求得，所以答案即为 \(c_1^sc_2^t \ {\rm {mod}} \ N\)。

极大数求幂显然要用到快速幂，而 \(s,t\) 可能为负数，快速幂就没法求了。所以我们需要把指数转变为正数求解。

运用所学初中知识：

\[c^x=(c^{-1})^{-x} \]

使用扩展欧几里得算法求解逆元即可。

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另外，快速幂和计算 \(c_1^sc_2^t\) 时要用龟速乘，否则第二个点爆 long long

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代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define lxl long long
#define debug(x) printf("debug : %lld\n", x)
using namespace std;

inline lxl fti(lxl a,lxl b,lxl p)
{
	lxl ans=0;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) ans=(ans+a)%p;
		a=(a+a)%p;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

inline lxl fmi(lxl a,lxl b,lxl p)
{
	lxl ans=1;
	a%=p;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) ans=fti(ans,a,p);
		a=fti(a,a,p);
		b>>=1;
	}
	return ans%p;
}

inline lxl exgcd(lxl a,lxl b,lxl &x,lxl &y)
{
	if(!b) {x=1,y=0;return a;}
	lxl k=exgcd(b,a%b,x,y);
	lxl z=x;x=y,y=z-a/b*y;
	return k;
}

inline lxl inv(lxl a,lxl b)
{
	lxl x,y;
	lxl g=exgcd(a,b,x,y);
	return g==1?(x%b+b)%b:-1;
}

lxl c1,c2,e1,e2,N;

int main()
{
	//freopen("P5451.in","r",stdin);
	int t;scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&c1,&c2,&e1,&e2,&N);
		lxl s,t,g=exgcd(e1,e2,s,t);
		if(s<0) c1=inv(c1,N),s=-s;
		if(t<0) c2=inv(c2,N),t=-t;
		printf("%lld\n",fti(fmi(c1,s,N),fmi(c2,t,N),N));
	}
	return 0;
}