牛客多校赛第9场G Game

黑板上有一些数字，Alice和Bob轮流操作，每次操作可以选择黑板上的两个数（两个数可以相同），然后在黑板上写下这两个数的异或。谁先写出k谁赢。

首先重复的数字是没有用的,进而可以推出除整局游戏的第一步之外,都可以选择保持当前的局面不变.

比如如果一个玩家面对的是一个必输的局面，他就可以选择保持局面不变再将这个局面送给对面。

因为这个性质的存在，所以游戏的发展有如下三种情况。

1、 先手一步获胜。

这就要求存在$a_i \bigoplus a_j = k$

2、先手无法一步获胜，并且无论先手选择哪两个，后手都可以获胜。

也就是对于任意的$i , j$都存在$p$,满足$a_i \bigoplus a_j = a_p \bigoplus k$

将这个式子的左边两项都异或上k

$$(a_i \bigoplus k)\bigoplus (a_j \bigoplus k) = a_p \bigoplus k$$

然后用$a^`$来代替$a$则有

$$a^`_i \bigoplus a^`_j = a^`_p$$

也就是$a^`$对于异或操作是封闭的。

也就是等价于，$a^`$中不同的数字的个数==2^(线性基的维数)

3、先手不能一步获胜，后手也不满足条件，所以两者就会一直僵持下去，最终平局。

#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int n , m , k;
int A[N] , B[N] , p[30];
void Solve()
{
	int tmp , pos , num;
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) cin >> A[i] , B[i] = A[i];
	sort(B + 1 , B + 1 + n);
	m = unique(B + 1 , B + 1 + n) - B - 1;
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)
	{
		tmp = A[i] ^ k;
		pos = lower_bound(B + 1 , B + 1 + m , tmp) - B;
		if(pos <= m && B[pos] == tmp) { cout << "Alice" << '\n'; return ; }
	}
	for(int i = 0 ; i < 30 ; ++i) p[i] = 0;
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)
	{
		tmp = A[i] ^ k;
		for(int j = 29 ; j >= 0 ; --j)
		{
			if(tmp & (1 << j))
			{
				if(!p[j]) { p[j] = tmp; break; }
				else tmp ^= p[j];
			}
		}
	}
	num = 0;
	for(int i = 0 ; i < 30 ; ++i) if(p[i]) num++;
	if((1 << num) == m)
		cout << "Bob" << '\n';
	else
		cout << "Draw" << '\n';
}
 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
	int T;
	cin >> T;
	while(T--) Solve();
	return 0;
}