Luogu P1306 斐波那契数列公约数

斐波那契公约数

题目描述

对于 Fibonacci 数列：

$$f_i = \begin{cases} [i = 1] & i \leq 1 \\ f_{i - 1} + f_{i - 2} & i \gt 1 \end{cases}$$

请求出 $f_n$ 与 $f_m$ 的最大公约数，即 $\gcd(f_n, f_m)$。

输入格式

一行两个正整数 $n$ 和 $m$ 。

输出格式

输出一行一个整数，代表 $f_n$ 和 $f_m$ 的最大公约数。答案请对 $10^8$ 取模。

样例 #1

样例输入 #1

4 7

样例输出 #1

1

提示

数据规模与约定

• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1 \leq n, m \leq 10^9$。

不妨令 n < m

$$f[n+2] = f[n] + f[n+1];$$

$$f[n+3] = f[n+1] + f[n+2] = 2 * f[n+1] + f[n];$$

$$f[n+4] = f[n+2] + f[n+3] = 2 * f[n+2] + f[n+1] = 3 * f[n+1] + 2 * f[n]$$

$$f[n+5] = 5 * f[n+1] + 3 * f[n]$$

发现如下规律

$$f[n+t] = f[t] * f[n+1] + f[t-1] * f[n]$$

将m代进去就有

$$f[m] = f[m-n] * f[n+1] + f[n-m-1] * f[n]$$

那么要求的就是$Gcd(f[n] , f[m]) = Gcd(f[n] , f[m-n]*f[n+1] + f[n-m-1] * f[n])$

然后由于$f[n] \ \ | \ \ f[n-m-1] * f[n]$

$Gcd(f[n] , f[m]) = Gcd(f[n] , f[m-n]*f[n+1])$

再因为$Gcd(f[n] , f[n+1]) = 1$

所以$Gcd(f[n] , f[m]) = Gcd(f[n] , f[m-n])$

发现n，m和求解$Gcd(n,m)$的辗转相除法一样，所以$Gcd(f[n] , f[m]) = f[Gcd(n,m)]$

关于$Gcd(f[n] , f[n+1]) = 1$的证明

$$Gcd(f[n] , f[n+1]) = Gcd(f[n] , f[n] + f[n-1])$$

$$Gcd(f[n] , f[n+1]) = Gcd(f[n-1] , f[n])$$

以此类推

$$Gcd(f[n] , f[n+1]) = Gcd(f[1] , f[2]) = 1$$

代码只需用矩阵优化一下递推即可，略。