树状数组3区间查询区间修改

Description

要求使用树状数组完成区间之和查询，区间加上某一相同数值的操作。

Solution

树状数组是用来单点加，查前缀和的。若要实现区间加，可以将原数列差分，然后在l位置处+val，在r+1处-val，这时要查询的就成了在差分数列上前缀和的前缀和，即二阶前缀和。

$$Sum = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i x_j$$

对于第i位来讲，它的值是这样组成的。

$$(i - 0) * x_1 + (i-1)*x_2 + (i-2)*x_2 + \dots + (i - (i - 1)) * x_i$$

化简一下

$$i * \sum_{j=1}^i x_j - \sum_{j=1}^i (j-1) * x_j$$

再化简一下

$$i * \sum_{j=1}^i x_j - \sum_{j=1}^i j * x_j + \sum_{j=1}^i x_j$$

此时就比较明了了，现在就是是要求 $\sum_{i=1}^n x_i$ 以及 $\sum_{i=1}^n i*x_i$这两个前缀和。第二个其实和第一没有什么本质区别，就是在给某一位加上val时，给第二个的前缀和加上i*val

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int n;
int A[N];
long long tr1[N] , tr2[N];
 
inline int lowbit(int x) { return x & (-x); }
 
inline void Add(int pos , int val)
{
	long long val2 = 1ll * val * pos;
	while(pos <= n) { tr1[pos] += val; tr2[pos] += val2; pos += lowbit(pos); }
}
 
inline long long Ask1(int pos)
{
	long long Ans = 0;
	while(pos) { Ans += tr1[pos]; pos -= lowbit(pos); }
	return Ans;
}
 
inline long long Ask2(int pos)
{
	long long Ans = 0;
	while(pos) { Ans += tr2[pos]; pos -= lowbit(pos); }
	return Ans;
}
 
inline long long Ask(int l , int r)
{
	long long res1 = Ask1(r) * (r + 1) - Ask1(l-1) * l;
	long long res2 = Ask2(r) - Ask2(l-1);
	return res1 - res2;
}
 
int main()
{
	int Q , op , l , r ,  x;
	cin >> n >> Q;
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)
		cin >> A[i];
	for(int i = n ; i >= 2 ; --i)
		A[i] = A[i] - A[i-1];
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)
		Add(i , A[i]);
	while(Q--)
	{
		cin >> op >> l >> r;
		if(op == 1)
		{
			cin >> x;
			Add(l , x); Add(r + 1 , -x);
		}
		else
			cout << Ask(l , r) << '\n';
	}
	return 0;
}